MATLAB快速（分量）矢量操作...真的很快

Question

我写了一段时间的MATLAB脚本，但仍然不明白它是如何工作的“引擎盖下”。考虑下面的脚本，它使用（大）向量以三种不同的方式进行一些计算：

1. MATLAB矢量操作;
2. 简单的循环，组件明智地做相同的计算;
3. 一个优化周期，应该比2.快，因为避免了一些分配和一些分配。

下面是代码：

N = 10000000; 

A = linspace(0,100,N); 
B = linspace(-100,100,N); 
C = linspace(0,200,N); 
D = linspace(100,200,N); 

% 1. MATLAB Operations 
tic 
C_ = C./A; 
D_ = D./B; 

G_ = (A+B)/2; 
H_ = (C_+D_)/2; 
I_ = (C_.^2+D_.^2)/2; 

X = G_ .* H_; 
Y = G_ .* H_.^2 + I_; 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

% 2. Simple cycle 
tic 
C_ = zeros(1,N); 
D_ = zeros(1,N); 
G_ = zeros(1,N); 
H_ = zeros(1,N); 
I_ = zeros(1,N); 
X = zeros(1,N); 
Y = zeros(1,N); 
for i = 1:N, 
    C_(i) = C(i)/A(i); 
    D_(i) = D(i)/B(i); 

    G_(i) = (A(i)+B(i))/2; 
    H_(i) = (C_(i)+D_(i))/2; 
    I_(i) = (C_(i)^2+D_(i)^2)/2; 

X(i) = G_(i) * H_(i); 
Y(i) = G_(i) * H_(i)^2 + I_(i); 
end 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

% 3. Opzimized cycle 
tic 
X = zeros(1,N); 
Y = zeros(1,N); 
for i = 1:N, 
    X(i) = (A(i)+B(i))/2 * ((C(i)/A(i) + D(i)/B(i)) /2); 
    Y(i) = (A(i)+B(i))/2 * ((C(i)/A(i) + D(i)/B(i)) /2)^2 + ((C(i)/A(i))^2 + (D(i)/B(i))^2)/2; 
end 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

我知道一个应该总是试图向量化计算，是MATLAB建立了矩阵/矢量（因此，如今，它并不总是最好的选择），所以我期待的东西，如：

C = A .* B; 

快于：

for i in 1:N, 
    C(i) = A(i) * B(i); 
end 

我是而不是即使在上面的脚本中，尽管我使用的第二个和第三个方法只经历了一个循环，但第一个方法执行了许多向量操作（理论上，每次都是“for”循环）。这种力量我得出结论MATLAB有一些神奇的允许（例如）到：

C = A .* B; 
D = C .* C; 

要运行多单“表示”里面的一些操作周期更快。

所以：

1. 什么魔术这避免了第1部分中执行得这么快？
2. 当你写“D = A * B”时，MATLAB实际上是用一个“for”循环做一个组件明智的计算，还是简单地跟踪D包含“bla”和“bla”的一些乘法？

编辑

1. 假设我要实现相同的计算使用C++（使用也许有些库）。将会是第一种MATLAB的方法比在C++中实现的第三种方法更快吗？ （我会回答这个问题我自己，给我一些时间。）

EDIT 2

按照要求，这里有实验运行时间：

1部分：0.237143

第2部分：4.440132 其中0。195154用于分配

3部分：

1部分：其中0.057500用于分配

和没有JIT 2.280640 的0.337259

第2部分：其中0.033886用于分配

149.602017 的

第3部分：82.167713 其中0.010852分配

Answer 1

第一个是最快的，因为向量化代码可以轻松解释为少量优化的C++库调用。 Matlab也可以对其进行更高级别的优化，例如，在其核心中将G*H+I替换为优化的mul_add(G,H,I)而不是add(mul(G,H),I)。

第二个不能轻松转换为C++调用。它必须被解释或编译。用于脚本语言的最现代的方法是JIT编译。 Matlab JIT编译器不是很好，但并不意味着它必须如此。我不知道MathWorks为什么不改进它。因此，＃2执行得如此之慢以至于即使它进行了更多“数学”操作，＃1也更快。

Julia语言被发明是Matlab表达式和C++速度之间的折衷。相同的非矢量化代码（julia vs matlab）工作速度非常快，因为JIT编译非常好。

Answer 2

关于性能优化，我使用'for' loop vs vectorization in MATLAB中提到的两种方法使用profiler来跟踪@memyself建议。

出于教育目的，它是有道理的实验数值算法，对于任何我会去与经过充分验证的libraries。