有关numpy.einsum（）的其他信息（）

Question

我想了解numpy.einsum（）函数，但文档以及从stackoverflow this answer仍留下一些问题。

我们来看看爱因斯坦和和答案中定义的矩阵。

A = np.array([0, 1, 2]) 

B = np.array([[ 0, 1, 2, 3], 
        [ 4, 5, 6, 7], 
        [ 8, 9, 10, 11]]) 

np.einsum('i,ij->i', A, B) 

因此，基于我的爱因斯坦总和的理解，我会翻译这个功能等同于符号（A_I * B_ij），所以我将获得：

J = 1：A_1 * B_11 + A_2 * B_21 + A_3 * B_31

J = 2：A_1 * B_12 + A_2 * B_22 + A_3 * B_32

，以此类推，直到J = 4。这给出

J = 1：0 + 4 + 16

j = 2：0 + 5 + 18

根据我的理解，这将是爱因斯坦求和。相反，功能不执行总金额，但在矩阵中，我们可以发现在（A_I * B_ij）的结果

0 0 0 0 
4 5 6 7 
16 18 20 22 

这是如何实际上是由函数控制存储单独项？我觉得这是由文档中提到的输出标签控制的：

输出可以通过将输出下标标签指定为 来控制。这指定标签顺序，并允许求和是 所需

时禁止或强制所以不知何故，我认为把->i禁用内款项相加。但是，这究竟是如何工作的？这对我来说并不明确。将->j作为预期提供实际的爱因斯坦总和。

Answer 1

看来你对爱因斯坦求和的理解是不正确的。您已经写出的下标操作具有正确的乘法，但总和超出了错误的轴。

想想这是什么意思：np.einsum('i,ij->i', A, B)。

1. A具有形状(i,)和B具有形状(i, j)。
2. 将B的每一列乘以A。
3. 在B的第二轴上的和，即在标记为j的轴上。

这给出了形状(i,) == (3,)的输出，而您的下标符号给出形状(j,) == (4,)的输出。你正在总结错误的轴。

更多细节：

记住乘法总是首先发生。左手下标告诉np.einsum函数输入数组中的哪些行/列/等将相互相乘。该步骤的输出总是具有与最高维输入数组相同的形状。即，在这一点上，假设的“中间”阵列具有形状(3, 4) == B.shape。

乘法后有总和。这由右侧的省略控制。在这种情况下，j被省略，这意味着沿数组的第一个轴求和。 （你正在第零次总结。）

如果你改为写：np.einsum('i,ij->ij', A, B)，将会有没有求和，因为没有下标被省略。因此，您可以在问题结束时获得您拥有的阵列。

这里有几个例子：

例1：

没有省略下标，所以没有总和。只需将B的列乘以A即可。这是你写出的最后一个数组。

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all() 
True 

出2：

同的例子。乘以列，然后求和输出的列。

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all() 
True 

出3：

为你写它上面的总和。乘以列，然后求和输出的行。

>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all() 
True 

出4：

需要注意的是，我们可以在最后省略所有轴，只得到在整个阵列的总和。

>>> np.einsum('i,ij->', A, B) 
98 

例5：

注意总和真的发生，因为我们重复输入标签'i'。如果我们改用不同的标签输入数组的每个轴，我们可以计算的东西类似克罗内克产品：

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape 
(3, 3, 4) 

编辑

的NumPy的实施爱因斯坦总和从传统有些不同定义。从技术上讲，爱因斯坦总和没有“输出标签”的概念。这些总是暗示重复的输入标签。

来自文档："Whenever a label is repeated, it is summed."因此，传统上，我们会写如np.einsum('i,ij', A, B)之类的东西。这相当于np.einsum('i,ij->j', A, B)。重复i，因此它被求和，只留下标记为j的轴。您可以考虑将输出标签指定为否的总和与仅指定输入中不重复的标签相同。也就是说，标签'i,ij'与'i,ij->j'相同。

输出标签是在NumPy中实现的扩展或扩充，它允许调用方强制求和或强制在轴上求和。从文档："The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."