4D到3D透视投影

Question

我试图计算3D世界中4D点的位置。我从2D开始，尝试将它扩展到3D，然后再扩展到4D。首先，我发现它很容易计算二维点在线上的投影位置。

Whoops, there should be() in the first equation: x/(a+y) 

现在我想通了，同样会在3D世界中适用，如果我分裂P（X，Y，Z）的P1（X，Z）和P2（Y， Z），计算它们的Q值，然后建立一个点P'（Q1，Q2）（假设Im从C（0，-a）点看Z轴正无穷大并渲染到XY平面）。

nx = (a*x)/(a+z); 
ny = (a*y)/(a+z); 

后来我想它只是简单的增加一个点P3，并与

nx = (a*x)/(a+z); 
ny = (a*y)/(a+z); 
nw = (a*w)/(a+z); 

出来了，我觉得这件事很奇怪，becouse W（新轴）实际上只影响最后的ž点，并参考tesseract它应该影响所有的维度...

这是行不通的，所以我想问你是否可以提供一些细节我做错了什么。我很确定它的“点分裂”问题，并且方程应该更复杂。请不要用矩阵和四元数攻击我。我只想在（0，-1）看一个简单的静态相机（0,0）...

感谢您的帮助！

Answer 1

• 在2D（X，Y）上y = 0的投影装置，用线线的交叉点：在3D（X，Y，Z）
  

  x'/a = x/(a+y) 
  

• 一个在z投影= 0意味着与平面线的交叉点：
  

  for y=0: x'/a = x/(a+z) 
  for x=0: y'/a = y/(a+z) 
  

• 我Ñ4D（X，Y，Z，W）上的投影瓦特= 0意味着线的交叉点与超平面：
  

  for y=0, z=0: x'/a = x/(a+w) 
  for x=0, z=0: y'/a = y/(a+w) 
  for x=0, y=0: z'/a = z/(a+w) 
  

• ...等

可选地一个可以计算出的线的交叉点，并使用所述参数的形式，其中的线由所述的超平面：

[px,py,pz,pw] = [p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w] 

其中，参数t是任意数量

[hx,hy,hz,hw] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w] 

现在的交点可以b：

的超平面由所述的e。通过求解发现：

[px,py,pz,pw] = [hx,hy,hz,hw] 

或多个显式：

[p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w] 

有4个方程（一个用于每个维度X，Y，Z，W）和4个未知数（A，B，C， t），除非该行平行于超平面，否则可以求解。上述

的想法受到解析几何在4D（其中w成分表示自己单独的尺寸），并且它们不应当与齐次坐标（其中w组件用于翻译/投影整合混淆到4D矩阵并且在视角划分的情况下在图形管线的末端附近被丢弃）。