背包多种限制

Question

我有一个动态编程问题，我花了几个小时研究无济于事。

第一部分很简单：你有一个背包物品，你必须最大化这些物品的价值，同时保持它们低于一定的重量。

问题的第二部分是相同的，除了现在还有一个项目的限制。例如：

您可以放入包中的物品的最大值是多少，以便在重量和物品限制下最大化该值？

我不知道如何实现这个问题的第二部分，林寻找一个通用算法。

Answer 1

在没有项目限制的动态编程solution中，您有2D矩阵，其中Y轴是项目索引，X轴是重量。然后，对于每个项目，重量对你选择重量的最大

之间

• 值包括项目，如果项目重量< =重量的极限
• 值不包括项目

下面是例如在标准溶液的Python：

def knapsack(n, weight, values, weights): 
    dp = [[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)] 

    for y in range(1, n + 1): 
     for x in range(weight + 1): 
      if weights[y - 1] <= x: 
       dp[y][x] = max(dp[y - 1][x], 
           dp[y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1]) 
      else: 
       dp[y][x] = dp[y - 1][x] 

    return dp[-1][-1] 

现在，当您添加项目限制时，您必须为每个项目选择最大值，值，使用的项目数让我们从重量

• 值和n个项目，包括项目，如果项目重量< =重量限制
• 的重量和n项扣除项目

价值为代表的项目的数量，你可以只添加第三维表示使用过的物品的数量之前使用的矩阵：

def knapsack2(n, weight, count, values, weights): 
    dp = [[[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(count + 1)] 
    for z in range(1, count + 1): 
     for y in range(1, n + 1): 
      for x in range(weight + 1): 
       if weights[y - 1] <= x: 
        dp[z][y][x] = max(dp[z][y - 1][x], 
             dp[z - 1][y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1]) 
       else: 
        dp[z][y][x] = dp[z][y - 1][x] 

    return dp[-1][-1][-1] 

简单的演示：

w = 5 
k = 2 
values = [1, 2, 3, 2, 2] 
weights = [4, 5, 1, 1, 1] 
n = len(values) 

no_limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, no item limit: {}' 
limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, item limit {}: {}' 

print(no_limit_fmt.format(w, knapsack(n, w, values, weights))) 
print(limit_fmt.format(w, k, knapsack2(n, w, k, values, weights))) 

输出：

Max value for weight limit 5, no item limit: 7 
Max value for weight limit 5, item limit 2: 5 

请注意，您可以优化例如关于内存消耗一点，因为加入第i个项目，你只需要知道对于z解决方案的解决方案时 - 1项。你也可以检查是否有可能将z物品放在重量限制之下，并且如果不能相应地减少物品限制。