推广算术运算符

两个数字的乘法可以通过算法定义，如下所示：'将第一个数字加到自身的次数等于第二个数字的数值'。两个数的幂运算可以通过算法定义如下：“将第一个数乘以自己的次数等于第二个数的值”。思考乘法和幂乘的定义引发了一些问题...推广算术运算符

首先，可以通过以加法作为基本操作开始定义一类算术操作吗？我写了一些Haskell代码来验证这一想法：

order1 x y = x + y 
order2 x y = foldl (order1) x (replicate (y - 1) x) 
order3 x y = foldl (order2) x (replicate (y - 1) x) 
order4 x y = foldl (order3) x (replicate (y - 1) x) 
order5 x y = foldl (order4) x (replicate (y - 1) x)

果然，“order2”的含义是乘法和“order3”的含义是幂。据我所知，英语中缺乏'orderN'的词汇，其中N> 3。数学界是否有任何关于这些操作的有趣说法？

另外，鉴于这些“订单”功能递归的外观，怎么可能一个写这样的功能：

generalArithmetic :: Int -> Int -> Int -> Int 
generalArithmetic n x y = --Comment: what to put here?

这意味着乘法当n等于2，意味着幂n = 3时... ？

另外，如何推广这些算术函数，以便它们可以对所有实数进行操作？毕竟，'复制'的类型是Int - > a - > [a]。

来源

2013-08-05 seewalker

http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration –

一般表达式为[超运算]（http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation）。 – leftaroundabout

**自然**数的乘/幂可以定义为“低阶”操作的重复应用。更难以说明将“x^-7.6”解释为“将x乘以-7.6倍”意味着什么。 – Ben

是的。您可以从一开始就使用peano算术（增量）

Brainf*ck只有增量，减量和检查非零值。即使有了这个，它也可以执行任何其他计算机程序可以执行的任何计算，只要它始终具有足够的内存，并且您不急于获得答案。

此类属性被称为Turing completeness和Brainf*ck即使没有输入和输出。因此，使用<,>,+,-, [和]，您可以制作一个程序来解决其他编程语言可解决的所有数学问题。

到目前为止，我已经制作出了使用它进行加法，减法，平均值，乘法，除法，模数和平方根的程序。

来源

2013-08-06 00:53:56 Sylwester

如果有人在乎什么，我前面所谓的“generalArithmetic”的定义，那就是：

arithmetic n x y = if n == 0 
        then (x + y) 
        else foldl (arithmetic (n - 1)) x (replicate (y - 1) x)

来源

2013-08-06 02:09:32 seewalker

如果这是真实世界的东西，而且你会关心效率，那么你也需要处理'n == 1'和'n == 2'作为特殊情况，并使用内部乘法和指数运算。 – firefrorefiddle

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