小数位浮点数和小数点的位置问题。小数点

Question

我似乎失去了很多使用浮点数的精度。

例如我需要解决一个矩阵：

4.0x -2.0y 1.0z =11.0 
1.0x +5.0y -3.0z =-6.0 
2.0x +2.0y +5.0z =7.0 

这是我使用从文本文件导入矩阵的代码：

f = open('gauss.dat') 
lines = f.readlines() 
f.close() 

j=0 
for line in lines: 
    bits = string.split(line, ',') 
    s=[] 
    for i in range(len(bits)): 
     if (i!= len(bits)-1): 
      s.append(float(bits[i])) 
      #print s[i] 
    b.append(s) 
    y.append(float(bits[len(bits)-1])) 

，我需要解决使用高斯 - 赛德尔所以我需要重新排列x，y和z的方程：

x=(11+2y-1z)/4 
y=(-6-x+3z)/5 
z=(7-2x-2y)/7 

这里是我用来重新排列equ ations。 b为系数矩阵，y是答案向量：

def equations(b,y): 
    i=0 
    eqn=[] 
    row=[] 
    while(i<len(b)): 
     j=0 
     row=[] 
     while(j<len(b)): 
      if(i==j): 
       row.append(y[i]/b[i][i]) 
      else: 
       row.append(-b[i][j]/b[i][i]) 
      j=j+1 
     eqn.append(row) 
     i=i+1 
    return eqn 

但是我找回答案并不精确到小数点后一位。

例如，在重新安排从上面的第二个方程，我应该得到：

y=-1.2-.2x+.6z 

我得到的是：

y=-1.2-0.20000000000000001x+0.59999999999999998z 

这看起来可能不是一个大问题，但是当你提高数量非常高，功率误差相当大。有没有解决的办法？我尝试了Decimal课程，但它不适用于权力（即Decimal(x)**2）。

任何想法？

Answer 1

我不熟悉Decimal类可以帮助你，但是你的问题是由于小数不能用二进制精确表示的事实，所以你看到的是最接近可能的近似值;如果不使用特殊的类（如Decimal，可能），则无法避免此问题。

EDIT:小数班怎么样对您来说工作不正常？只要我从一个字符串开始，而不是一个浮动，权力似乎正常工作。

>>> import decimal 
>>> print(decimal.Decimal("1.2") ** 2) 
1.44 

的module documentation解释了必要性和decimal.Decimal使用非常清楚，你应该检查出来，如果你还没有。

Answer 2

IEEE浮点是二进制的，而不是十进制的。没有固定长度的二进制分数恰好为0.1或其任何倍数。它是一个重复分数，如十进制的1/3。

请仔细阅读What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

其他选项除了一个小数类使用的Common Lisp或Python 2.6或确切有理数

转换双打另一种语言使用关闭有理数，例如

• ，frap

Answer 3

首先，您的输入可以被简化很多。您不需要读取和解析文件。你可以用Python符号声明你的对象。评估文件。

b = [ 
    [4.0, -2.0, 1.0], 
    [1.0, +5.0, -3.0], 
    [2.0, +2.0, +5.0], 
] 
y = [ 11.0, -6.0, 7.0 ] 

其次，y = -1.2-0.20000000000000001x + 0.59999999999999998z并不罕见。二进制表示法中没有0.2或0.6的确切表示。因此，显示的值是原始非精确表示的十进制近似值。对于几乎所有的浮点处理器都是如此。

你可以试试Python 2.6 fractions模块。有一个旧的rational包可能会有所帮助。

是的，将浮点数提升为功率会增加错误。因此，您必须确保避免使用浮点数的最右侧位置，因为这些位主要是噪声。

当显示浮点数时，必须适当地舍入它们以避免看到噪声位。

>>> a 
0.20000000000000001 
>>> "%.4f" % (a,) 
'0.2000' 

Answer 4

另请参阅What is a simple example of floating point error，这里是SO，它有一些答案。我给的一个实际上使用python作为示例语言...

Answer 5

我会对这样的任务小心模块。它的目的实际上更多地处理实际的十进制数（例如，匹配人类簿记实践），具有有限精度，而不执行精确的精确数学。有数字不完全可以用十进制表示，就像二进制数字一样，用十进制表示算术也比替代方法慢得多。

相反，如果你想得到确切的结果，你应该使用有理算术。这些将数字表示为分子/去噪对，因此可以精确地表示所有有理数。如果你只使用乘法和除法（而不是平方根等可能导致不合理数字的操作），则不会失去精度。

正如其他人所说，python 2.6将有一个内置的理性类型，但请注意，这不是一个真正的高性能实现 - 为了提高速度，您最好使用像gmpy这样的库。只需将您的调用替换为float（）到gmpy.mpq（），您的代码现在应该给出确切的结果（尽管您可能想将结果格式化为浮点以用于显示）。

这里是你的代码稍微收拾版本加载，将使用gmpy有理数，而不是一个矩阵：

def read_matrix(f): 
    b,y = [], [] 
    for line in f: 
     bits = line.split(",") 
     b.append(map(gmpy.mpq, bits[:-1])) 
     y.append(gmpy.mpq(bits[-1])) 
    return b,y 

Answer 6

这不是一个回答你的问题，但相关：

#!/usr/bin/env python 
from numpy import abs, dot, loadtxt, max 
from numpy.linalg import solve 

data = loadtxt('gauss.dat', delimiter=',') 
a, b = data[:,:-1], data[:,-1:] 
x = solve(a, b) # here you may use any method you like instead of `solve` 
print(x) 
print(max(abs((dot(a, x) - b)/b))) # check solution 

例：

$ cat gauss.dat 
4.0, 2.0, 1.0, 11.0 
1.0, 5.0, 3.0, 6.0 
2.0, 2.0, 5.0, 7.0 

$ python loadtxt_example.py 
[[ 2.4] 
[ 0.6] 
[ 0.2]] 
0.0 

Answer 7

只是一个建议（我不知道你在什么限制下工作）：

为什么不使用直接的高斯消元而不是高斯 - 赛德尔迭代？如果您选择具有最大值的系数作为每个淘汰步骤的支点，则可以最小化FP舍入误差。

这可能实际上是由J.F. Sebastian（!!）提到的numpy.linalg.solve所做的。

Answer 8

而不是十进制，你可能想看看mpmath。