FFTW和fft与MatLab

我有一个奇怪的问题与离散fft。我知道高斯函数exp（-x^2/2）的傅里叶变换又是相同的高斯函数exp（-k^2/2）。我试图用MatLab和FFTW中的一些简单代码来测试，但我得到了奇怪的结果。FFTW和fft与MatLab

首先，结果的虚部不是零（在MatLab中），因为它应该是。

其次，实部的绝对值是高斯曲线，但没有绝对值的一半的模式具有负系数。更确切地说，每个第二模式都有一个系数，它是应该是负数的系数。第三，得到的高斯曲线的峰值（在取实部的绝对值之后）不是一而是高得多。其高度与x轴上的点数成正比。但是，比例因子不是1，但接近1/20。

任何人都可以解释我做错了什么？

这里是MATLAB代码，我用：

function [nooutput,M] = fourier_test 

    Nx = 512;  % number of points in x direction 

    Lx = 50;  % width of the window containing the Gauss curve 

    x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);  % creating an equidistant grid on the x-axis 

    input_1d = exp(-x.^2/2);     % Gauss function as an input 
    input_1d_hat = fft(input_1d);   % computing the discrete FFT 
    input_1d_hat = fftshift(input_1d_hat); % ordering the modes such that the peak is centred 

    plot(real(input_1d_hat), '-') 
    hold on 
    plot(imag(input_1d_hat), 'r-')

来源

2013-10-10 Fortran_user

您可能将* continuous * FT与* discrete * FT混合在一起。高斯的连续FT是高斯函数，但我不确定DFT（FFT）是如此。 –

当然，离散性使得事物不精确，但离散FT被创建为连续FT的近似值。当点数和间隔足够大时，这里就是这种情况，近似值应该是好的。会有一些偏差，但他们绝对不应该那么大，如此系统。另外，当我增加Nx和Lx时，结果不会改变，这意味着收敛是可以实现的。 –

我认为在你的DFT情况下可能会出现一个隐含的时间偏移，这就意味着频域的相位旋转 - 我认为幅度是正确的，相位是一条直线（如果你是模2π不解开它，即锯齿）。 –

答案基本上是保罗 - [R表明在他的第二个意见，你介绍的相移（线性依赖于频率），因为中心由input_1d_hat描述的高斯实际上在k>0，其中k+1是input_1d_hat的索引。相反，如果你Center的资料（这样input_1d_hat(1)对应中心）如下你在频域中的相位校正高斯：

Nx = 512;  % number of points in x direction 
    Lx = 50;  % width of the window containing the Gauss curve 

    x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);  % creating an equidistant grid on the x-axis 

    %%%%%%%%%%%%%%%% 
    x=fftshift(x); % <-- center 
    %%%%%%%%%%%%%%%% 

    input_1d = exp(-x.^2/2);     % Gauss function as an input 
    input_1d_hat = fft(input_1d);   % computing the discrete FFT 
    input_1d_hat = fftshift(input_1d_hat); % ordering the modes such that the peak is centered 

    plot(real(input_1d_hat), '-') 
    hold on 
    plot(imag(input_1d_hat), 'r-')

从DFT的定义，如果高斯不集中等那最大值发生在k=0，你会看到相位扭曲。 fftshift的效果是执行数据集左侧和右侧的循环移位或交换，这相当于将峰的中心移至k=0。

至于幅度缩放，这是在Matlab中实现的DFT的定义的问题。从对FFT的文档：

For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, 
with elements 
       N 
    X(k) =  sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N. 
       n=1 
The inverse DFT (computed by IFFT) is given by 
       N 
    x(n) = (1/N) sum X(k)*exp(j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. 
       k=1

注意的是，在向前迈进了一步的总和不由N.标准化因此如果增加点Nx的数量的总和，同时保持宽度高斯函数常数的Lx，您将按比例增加X(k)。

至于信号泄漏到假想频率维度，也就是说是由于DFT，这导致截断和其它效果的离散形式，如再由Paul R.注意到如果减少Lx同时保持恒定Nx，你应该看到在虚拟维数相对于的信号量减少到实际维度（比较光谱，同时保持实际维度中的峰值强度相等）。

你会发现类似问题的其他答案here和here。

来源

2013-10-10 14:46:59

谢谢你的提示。但是，我仍然不明白为什么我应该用fftshift来更改x阵列。你能详细解释一下吗？我认为这是通过在输出上做fftshift来提供的。为什么我的版本中的高斯有效地以x> 0为中心？ –

你对我有其他两个问题的原因有什么想法吗？我实施你的解决方案。它修复了输出两部分的振荡，但虚部仍然不为零。而且，当我改变点数Nx时，它保持不变，而实部的峰值与Nx成比例变化。任何想法为什么这是这样的？ –

任何想法如何解决与FFTW使用C++时的问题？在那里，我得到了同样令人讨厌的震荡。你能给出关于这个问题的数学工具参考吗？我没有看到关于fft例程解释页面上的评论。 –

FFTW和fft与MatLab

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