找到一条直线与已知直线相交，给定一个点

Question

这是基本的图形几何图形和/或触发器，我对它的问题感到哑巴，但我不记得这是怎么回事。所以：

1. 我有一个由两点（x1，y1）和（x2，y2）定义的直线。
2. 我有第三个点（xp，yp）位于别的地方。

我想计算点（x“ y”）的该介于沿着线在＃1，使得当与从＃2的点接合，创建一个新的垂直线到所述第一线。

谢谢。

Answer 1

您可以考虑先一般点(x, y)沿线从(x1, y1)到(x2, y2)发现这一点：

x = x1 + t*(x2 - x1) 
y = y1 + t*(y2 - y1) 

和计算的（平方）距离这一点从(xp, yp)

E = (x - xp)**2 + (y - yp)**2 

代替x和y的定义给出

E = (x1 + t*(x2 - x1) - xp)**2 + 
    (y1 + t*(y2 - y1) - yp)**2 

然后找到这个距离而变化t最低，我们对于获得E到t

dE/dt = 2*(x1 + t*(x2 - x1) - xp)*(x2 - x1) + 
     2*(y1 + t*(y2 - y1) - yp)*(y2 - y1) 

，经过一些计算给出

dE/dt = 2*((x1 - xp)*(x2 - x1) + (y1 - yp)*(y2 - y1) + 
      t*((x2 - x1)**2 + (y1 - y2)**2)) 

寻找时，该导数为零，我们得到明确公式为t

t = ((xp - x1)*(x2 - x1) + (yp - y1)*(y2 - y1))/
    ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2) 

所以最后一点可以用的定义中t的值来计算。

使用矢量的符号，这正是通过加雷建议相同的公式...

t = <p - p1, p2 - p1>/<p2 - p1, p2 - p1> 

其中符号<a, b>表示点积操作ax*bx + ay*by。

还要注意，同样的公式在n维空间中起作用。

Answer 2

您可以解决连接(x1, y1)和(x2, y2)的线的斜率。然后你知道垂直线的斜率是负的。

要找到y截距，请使用斜率来查看线条在y从x=0到x1的行进距离。

b + (x1 - x0) * m = y1 
b + (x1 - 0) * m = y1 
b + (x1 * m)  = y1 
b = y1 - x1 * m 

然后，您可以得到该行的公式的两个点，并从(xp, yp)上述坡线之间。对于给定的x，它们具有相等的y，所以你可以解决这个问题，然后将其插入到y的公式中。

m = slope_from_1_to_2 = (y2 - y1)/(x2 - x1) 
n = slopePerpendicular = (-1)/m 

b = intercept_for_1_to_2 = y1 - x1 * m 
c = intercept_for_p  = yp - xp * n 

因此，对于线路中的方程的形式是 y = mx + b

点1和2：

y(x) = mx + b

点P：

y(x) = nx + c

一套自己的等于找到X'y

mx' + b = nx' + c 
(m-n)x' = c - b 
    x' = (c - b)/(m - n) 

并因此请使用公式计算Y”

y' = mx' + b

Answer 3

答案行是：

y=ax+b 
where a=(x1-x2)/(y2-y1) 
     b=yp-(x1-x2)*xp/(y2-y1) 

如何结果得到：

1) slope for the original line: (y2-y1)/(x2-x1) 

2) slope for the answer: -1/((y2-y1)/(x2-x1)) = (x1-x2)/(y2-y1) 

3) Plug this into (xp,yp) we can have the result line. 

只需计算出此后的答案（这太长了...我饿了）。

Answer 4

在这种计算几何中有用的经验法则是，只要可以，就应该使用向量，只能作为最后手段切换到笛卡尔坐标。所以让我们用矢量代数来解决这个问题。假设您的线路从p到p + r，另一点是q。现在

，就行了，包括你正在努力寻找的任何点（称之为小号），可表现为小号 = p +λ[R一个标量参数λ。

现在从q到小号载体必须垂直于ř。因此

（q - （p +λř））·ř = 0

凡·是dot product operator。扩大产品：

（q - p）·ř =λ（ř·ř）

和除法：

λ =（q - p）·[R/[R·[R

当你来实现它，你需要检查是否[R·[R = 0，以避免被零除。