这个表达式为什么会导致浮点错误？

Question

所以浮点运算inexact但并不能完全解释什么是怎么回事：

[46] pry(main)> a=0.05 
=> 0.05 
[47] pry(main)> a=a*26.0/65 
=> 0.02 

所以在这里，我们有我们所期望的，我们得到了正确的答案和世界保持美丽转向。但是我们稍后重写了这个函数，当我们这样做的时候，我们将a=a*26.0/65换成a*=26.0/65并不是那么好，我们输入了少一个字符！让我们看看这对我们是如何解决的？

[48] pry(main)> a=0.05 
=> 0.05 
[49] pry(main)> a*=26.0/65 
=> 0.020000000000000004 
[50] pry(main)> 26.0/65 
=> 0.4 

这表明a*=b是不一样的书写a=a*b。它似乎不是一个正常的浮动四舍五入误差，因为这些数字都不应该作为浮点四舍五入（尾数应该超过26.0,26.0,65,65.0）。

我确定在引擎盖下有些微妙的变化，想知道发生了什么？

Answer 1

这是不正确的浮点格式的尾数有足够的位来表示六十五分之二十六。 （“有效数字”是优选的术语。有效数是线性的。尾数对数。）

二进制浮点数的有效数是一个二进制整数。该整数根据指数进行缩放。要用二进制浮点表示26/65，即.4，我们必须将其表示为一个整数乘以2的幂。例如，对.4的近似值为1•2 ^-1 = .5。更好的近似值是3•2 ^-3 = .375。更好的是26•2 ^-4 = .40625。

但是，不管你用什么整数为尾数或者你用什么指数，该格式可从来不会完全符合0.4。假设你有0.4 = ˚F•2 ^ē，其中˚F和Ë是整数。然后2/5 = ˚F•2 ^ë，所以2 /（5 ˚F）= 2 ^ë，然后1 /（5 ˚F）= 2 ^{ë - 1}和5 f = 2 ^{1- e}。为了实现这一点，5必须是2的幂。它不是，所以你不能有。4 = f•2 ^e。

在IEEE-754 64位二进制浮点中，有效位有53位。由此，与.4最接近的可表示值是0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625，这等于3602879701896397•2 ^-53。

现在让我们看看你的计算。在a=0.05中，0.05转换为浮点数，产生0.05000000000000000277555756156289135105907917022705078125。

在a*26.0/65,a*26.0首先被评估。精确的数学结果四舍五入到最接近的可表示值，产生1.3000000000000000444089209850062616169452667236328125。然后这除以65.再次，答案是四舍五入的，产生0.0200000000000000004163336342344337026588618755340576171875。当Ruby打印这个值时，它显然决定它足够接近.02，它只能显示“.02”而不是完整的值。从某种意义上讲，这是合理的，如果将打印值.02转换回浮点数，则会再次获得实际值，即0.0200000000000000004163336342344337026588618755340576171875。所以“.02”在某种意义上是0.0200000000000000004163336342344337026588618755340576171875的好代表。

在您的替代表达式中，您有a*=26.0/65。在此，首先对26.0/65进行评估。这产生了0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625。 这与第一个表达式不同，因为您已按不同的顺序执行操作，因此将舍入了不同的数字。可能发生的情况是，第一个表达式中的值被舍入，而这个不同的值，因为它发生的地方相对于可浮点表示的值，所以四舍五入。

然后将该值乘以a。这产生0.02000000000000000388578058618804789148271083831787109375。请注意，该值比第一个表达式的结果更靠近.02。您的Ruby实现知道这一点，因此它确定打印“.02”不足以准确表示它。相反，它显示更多数字，显示0.020000000000000004。

Answer 2

我想我在这里得到了什么。看看这个代码和操作顺序：

irb(main):001:0> a=0.05 
=> 0.05 
irb(main):002:0> b=26.0 
=> 26.0 
irb(main):003:0> c=65 
=> 65 
irb(main):004:0> a*b/c 
=> 0.02 
irb(main):005:0> a*(b/c) 
=> 0.020000000000000004 

这里，a*b/c是解释应该如何评价你的表达a=a*26.0/65。它评估右侧，然后将结果分配到作业的左侧。

现在，究竟是什么运算符* =呢？如果我们迫使运营a*(b/c)顺序的修改上面的代码显示你有那么a*=b/c所以在我认为Ruby的*=计算表达式的左侧，然后在右侧乘以它的引擎盖之后，它的结果将其分配到右侧。

在我的角度来看，这是发生了什么。 Ruby的解释器正在修改评估的执行方式，当然，因为我们正在处理非精确的浮点数，这可能对结果产生很大影响，Jon Skeet在他对这个问题的惊人回答中解释道：Why does changing the sum order returns a different result?

希望这有助于！