线性方程的错误解法，或为什么A *（A \ B）不等于B？

Question

下面的A*(A\D)的结果怎么可能不等于D？

它应该产生D - 这里是八度文档的摘录：

Systems of linear equations are ubiquitous in numerical analysis. To solve the set of linear equations Ax = b, use the left division operator, ‘\’: x = A \ b

下面是为那些谁想要尝试它的代码：

A = [1,1,1;0,0,0;2,1,2;2,1,2;3,5,6] 
D = [1;2;3;4;5] 
% A is of rank 3: 
rank(A) 
% therefore the system Ax=D has a unique solution 
x = A\D 
% but Octave has not given the good solution: 
A*x 

有人说我的Matlab产生完全相同的结果。

编辑2012年10月10日：看了答案后，让我地步，我做了一个严重的错误：索赔“A的秩是3，因此该系统斧= d有一个独特的解决方案”是绝对错误的！顺便说一下，上面显示的文档相当令人不安。

Answer 1

A具有5行，所以是D。他们都有3列。因此，你有一个包含3个变量的5个方程的超定系统。在大多数情况下，这意味着你无法准确地求解方程，因为你有太多限制。

一旦你这样做

x = A\D; 

你得到的最小二乘解。

0.8333 
-1.5000 
1.6667 

这是什么解决方案？这是最小化误差平方和的解决方案。让我们来计算误差：

r = A*x-D; 
    totalError = sum(r.^2); 

这意味着你将无法找到任何x这样sum(sqr(A*x-D))有更小的误差。

小备注：在你的情况，你也有零点一排 - 这会导致方程的实际数量成为4

让我们在A*(A\D)再看一看：

>> A* (A\D) 

ans = 

    1.0000 
     0 
    3.5000 
    3.5000 
    5.0000 

，看起来熟悉！非常接近[1; 2; 3; 4; 5]。第一行和最后一行是相同的。第二个是零，因为你放了一行零。在第3和第4行，你必须精确地在一个相同的路线，但B中不同的值，对应于

2*x+ 1*y + 2*z = 3; 
2*x+ 1*y + 2*z = 4; 

而且你已经得到了他们的平均！这是有道理的，因为平均值是将距离总和最小化为3和4的值。

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下面是一个简单的例子，假设你想求解方程的以下系统：

x = 1; 
    x = 2; 

显然，x不能1和2在同一时间。该误差平方和最小的解决方案是1.5

A = [1;1]; 
    b = [1;2]; 
    A\b 
    ans = 
    1.5000 

Answer 2

你的系统A是超定的（A是矩形的），因此你do not solve your system exactly：

Rectangular Matrices If A is rectangular, mldivide returns a least-squares solution. MATLAB solves overdetermined systems with QR factorization (see qr). For an underdetermined system, MATLAB returns the solution with the maximum number of zero elements.