超几何函数的有效评估

有没有人有算法评估超几何函数的经验？我会对一般参考文献感兴趣，但如果有人处理了它，我会描述我的特殊问题。超几何函数的有效评估

我的具体问题是评估形式3F2（a，b，1; c，d; 1）的函数，其中a，b，c和d都是正实数，c + d> a + b + 1。有许多特殊情况具有封闭式公式，但据我所知，通常没有这样的公式。以0为中心的幂级数收敛于1，但非常缓慢;连续系数的比例在极限中变为1。也许像Aitken加速会有所帮助？

你想总结一个系列，你知道连续项的比例并且它是一个有理函数吗？

我认为Gosper's algorithm和其他工具，用于证明hypergeometric identities（并找到它们）做到这一点，对吧？（见Wilf和Zielberger的A=B book online.）

2009-01-25 23:07:30 ShreevatsaR

是的，系数系数的比例是指数的有理函数。但我还没有找到有用的超几何身份。 http://functions.wolfram.com/列出了成千上万的身份，但他们都没有帮助。 – 2009-01-25 23:39:46

我不太了解 - 不要这些算法*找到*身份以及？我没有详细阅读A = B书，但它提到的Maple软件包可能会有更好的实现... – ShreevatsaR 2009-01-26 01:34:26

我测试了Aitken加速度，它似乎对这个问题没有帮助（理查森外推法也没有）。这可能意味着Pade近似也不起作用。尽管如此，我可能会做一些错误的事情，所以一定要为自己尝试一下。

我可以想到两种方法。

其中之一是在某一点评估系列，如z = 0.5，其中收敛很快以获得初始值，然后通过将hypergeometric differential equation插入到ODE求解器中，前进到z = 1。我不知道这在实践中有多好，它可能不会，因为z = 1是一个奇点（如果我没记错的话）。

其次是根据Meijer G-function使用3F2的定义。定义Meijer G函数的轮廓积分可以通过对轮廓线段应用高斯或双指数正交来进行数值计算。这不是非常有效，但它应该工作，它应该扩展到相对较高的精度。

2009-01-29 08:14:45

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