类型实例函数

Question

我刚刚意识到，函数具有Monad，Functor和Applicative的实例。

我最常做的，当我看到一些类型类实例我不明白，是写一些良好的输入表达式，看看它返回：

有人可以解释这些情况？你通常会听到关于List和Maybe的实例，这些实例现在对我来说很自然，但我不明白函数如何成为函子或Monad。

编辑： 好吧，这是一个有效的良好的输入表达式无法编译：

fmap (+) (+) 1 (+1) 1 

Answer 1

首先，我同意你的观点：功能不如仿函数非常直观，的确有时我真希望这些情况并不存在。这并不是说他们有时候并没有用处，但是他们经常以不必要和混乱的方式使用它们。这些方法总是可以替换为更具体的组合子（特别是Control.Arrow），或者用等效的但更具描述性的reader monad替代。

这就是说...了解功能仿函数，我建议你先考虑Map。在某种程度上，Map Int与数组非常类似：它包含一些可以转换的元素（即fmap），并且您可以通过索引使用整数访问各个元素。 Map只允许“数组”在其中存在空位，并且从整数索引推广到任何可以排序的索引。

尽管如此，Map只是函数的具体实现：它将参数（键）与结果（值）相关联。这应该很清楚地说明函数函子如何工作：它覆盖函数的所有可能结果^†。

这个解释很遗憾没有太多解释Monad实例，因为Map实际上并没有一个monad（甚至是Applicative）实例。列表/数组实现的一个直接的适应确实会是不可能的......回顾：上表中，我们有

pure x ≡ [x] 
(,) <$> [a,b] <*> [x,y,z] ≡ [(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)] 

所以合并之后，指数都不同。对于我们想要支持通用密钥的Map，这不起作用。

然而，有一个为列表的替代单子例如，拉链列表：

pure x ≡ repeat x 
(,) <$> [a,b] <*> [x,y,z] ≡ [(a,x),(b,y)] 

注意，元素的索引将被保留。

现在这个实例实际上可以适用于Map，如果只有repeat :: a -> Map k a发生器。这是不存在的，因为一般情况下有无数个密钥，我们不能枚举它们，也不能平衡这样一个Map需要的无限树。但是，如果我们限制密钥类型只有有限个可能的值（如Bool），那么，我们是很好的：

instance Applicative (Map Bool) where 
    pure x = Map.fromList [(False, x), (True, x)] 
    <*> = Map.intersectWith ($) 

现在，这也正是该功能单子作品，只是不像Map怎么也没有问题如果无限多个不同的参数是可能的，因为你永远不会试图存储所有的与关联的值;相反，你总是只能当场计算值。

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^†_{，如果它不是懒洋洋地做这将是不可行的 - 这在Haskell是很难的一个问题，其实如果你FMAP在Map也恰好懒洋洋地。对于功能仿函数，fmap实际上不只是懒惰，但其结果也立即被遗忘，需要重新计算。}

Answer 2

fmap为功能作用在由函数产生的结果：

GHCi> :set -XTypeApplications 
GHCi> :t fmap @((->) _) 
fmap @((->) _) :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

的t -> a函数的a结果通过一个a -> b功能修改。如果这听起来很像函数组合，这是因为它正是：

GHCi> fmap (3 *) (1 +) 4 
15 
GHCi> ((3 *) <$> (1 +)) 4 
15 
GHCi> ((3 *) . (1 +)) 4 
15 

(<*>)是有点麻烦：

GHCi> :t (<*>) @((->) _) 
(<*>) @((->) _) :: (t -> a -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

的Applicative f => f (a -> b)争论变得t -> (a -> b)。

GHCi> :t \k f -> \x -> k x (f x) 
\k f -> \x -> k x (f x) :: (t2 -> t -> t1) -> (t2 -> t) -> t2 -> t1 

这里：(<*>)通过使用辅助功能（t -> a类型的），以产生从所述第一，第二个参数的两个参数（t -> a -> b类型的）的函数转换成（的t -> b型）一个参数的函数的是一个示例写在应用性风格，采用的函数的Functor和Applicative实例：

GHCi> ((&&) <$> (> 0) <*> (< 4)) 2 
True 

一个读取它是“喂2到(> 0)和(< 4)方式，和COMBI ne结果(&&)“。它可以用更简洁的方式写入liftA2Control.Applicative，但我相信拼写更有意义 - 揭示。

的Applicative，pure另一种方法...

GHCi> :t pure @((->) _) 
pure @((->) _) :: a -> t -> a 

...使得t -> a功能出a，别无其他的。常数函数是这样做的唯一方法：

GHCi> pure 2 "foo" 
2 
GHCi> pure 2 42 
2 

请注意pure 2在上面的每个例子不同的类型。

鉴于上述所有情况，Monad实例令人惊讶地没有趣味。对于额外的清晰度，让我们来看看而不是在(>>=)：

GHCi> :t (=<<) @((->) _) 
(=<<) @((->) _) :: (a -> t -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

如果你比较这类型与(<*>)的一个，你会看到他们是相同的，不同之处在于第一个参数已经翻转。函数实例是一个例外情况，其中Applicative和Monad做了基本相同的事情。

值得一提的是，从joinControl.Monad可用于使用值作为两个参数的函数的两个参数：

GHCi> :t join @((->) _) 
join @((->) _) :: (t -> t -> a) -> t -> a 
GHCi> join (*) 5 
25