计算图像积分

Question

如何从图像积分中找到平均值，标准偏差和梯度？给定的图像，例如，如下所示：

如上图所示，找到了突出部分的总和，sum = C+A-B-D。
所以我们有sum = 22。

我怎么能在下进行，以便找到：

• 平均
• 标准偏差
• 梯度

Answer 1

C+A-B-D为您提供了灰度等级的总和由界的区域A，B，C，D，所以，为了得到平均值，您只需要将区域划分为区域：

mean = (C+A-B-D)/4 

要获得开发，你必须计算平方米范围表的总和（使用cv::integral你可以传递一个额外的参数，以获得平方的总和）。引用wikipedia时，标准差等于（平均值减去平均值的平方）的平方根。因此，假设A“ B”，C“ d”在你广场面积表中的值：

dev = sqrt((C'+A'-B'-D')/4 - (mean*mean)) 

因此，在计算平均值，并使用积分图像dev为非常快速使用积分图像，特别是如果你想要在随机位置和图像块的随机大小上计算这些数量。

关于渐变，它更复杂。你确定你不想使用sobel运算符吗？

Answer 2

如果C + A-B-C是区域中的所有灰度级的总和，则平均值不

mean = C+A-B-D/4 

但

mean = C+A-B-D/K 

其中K是在该区域graylevels的数量。

此外，

dev = sqrt(C'+A'-B'-D'/4 - (mean*mean)) 

不是标准偏差，因为

dev = sqrt((1/N)*sum_N (x_i - u)^2) 

这里的公式等同于

dev = sqrt((1/N)*sum_N ((x_i)^2) - u^2) 

这些方程是不等价的。

Answer 3

jmch没有说的是，如果sqrt(C'+A'-B'-D'/K - (mean*mean))不是你如何计算积分图像的标准偏差，那么你怎么做呢？

首先，让我切换到Python/numpy的代码，所以我们得到了一点符号一致性和表达式更容易检查。给定样本阵列X，说：

X = array([random() * 10.0 for i in range(0, 9)]) 

的X的uncorrected sample standard deviation可以作为被定义为：

std = (sum((X - mean(X)) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 1 

运用binomial theorem到(X - mean(X)) ** 2我们得到：

std = (sum(X ** 2 - X * 2 * mean(X) + mean(X) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 2 

鉴于identities的总和操作，我们可以做：

std = ((sum(X ** 2) - 2 * mean(X) * sum(X) + len(X) * mean(X) ** 2)/len(X)) ** 0.5 # 3 

如果我们S = sum(X)，S2 = sum(X ** 2)，M = mean(X)和N = len(X)我们得到：

std = ((S2 - 2 * M * S + N * M ** 2)/N) ** 0.5 # 4 

现在对于图像I和两个积分图像P和P2从I（其中P2是积分图像的平方像素计算值），我们知道，给定四个边缘坐标A = (i0, j0),B = (i0, j1),C = (i1, j0)和D = (i1, j1)，值为S,S2，M和N可以计算作为范围I[A:D]：

S = P[A] + P[D] - P[B] - P[C] 

S2 = P2[A] + P2[D] - P2[B] - P2[C] 

N = (i1 - i0) * (j1 - j0) 

M = S/N 

然后可以上述（4）得到的范围内I[A:D]的标准偏差应用到方程。

编辑：它不是完全必要的，但考虑到M = S/N我们可以将以下替换和简化式（4）：

std = ((S2 - 2 * M * S + N * M ** 2)/N) ** 0.5 

std = ((S2 - 2 * (S/N) * S + N * (S/N) ** 2)/N) ** 0.5 

std = ((S2 - 2 * ((S ** 2)/N) + (S ** 2/N))/N) ** 0.5 

std = ((S2 - ((S ** 2)/N))/N) ** 0.5 

std = (S2/N - (S/N) ** 2) ** 0.5 # 5 

这是相当接近方程式雷米了，其实。