Java在某个点估算衍生物

我目前正在编写一个计算器应用程序。我正在试图写一个派生估计器。下面的公式是一个简单的方法。通常在纸上，您可以使用最小的h来获得最准确的估计值。问题是双打无法处理增加真正的小数字到相对庞大的数字。如4 + 1E-200只会导致4.0。即使h只是1E-16，4 + 1E16实际上会给你正确的价值，但是做数学它是不准确的，因为在第16名之后的任何东西都会丢失，舍入不能正确发生。我听说双打的一般经验法则是1E-8或1E-7。与此问题是大数不会工作，因为2E231 + 1E-8将只是2E23，1E-8将因为尺寸问题而丢失。Java在某个点估算衍生物

f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h as x approaches 0

当我测试F（X）= X^2点4，使f'（4），它应该是正好是8 现在我明白了，我可能永远不会得到完全8.但我最准确的似乎是1E-7或1E8 有趣的是1E-9到1E-11都给出了相同的答案。这里是f(x)=x^2 at x=4

1E-7 8.000000129015916 
1E-8 7.999999951380232 
1E-9 8.000000661922968 
1E-10 8.000000661922968 
1E-11 8.000000661922968 
1E-12 8.000711204658728

这里是我的问题，H公司和结果的列表：

什么是挑小时最好的办法，显然1E-8或1E-7是有意义的，但如何我可以根据x选择一个h，这样即使x是3.14E203或2E-231，它也可以处理任何大小的数字。
我应该考虑多少精度小数。
您是否知道德州仪器是如何做到这一点的？TI 83,84和Inspire能够以数值的方式计算出12位小数或精度的衍生物，并且几乎总是正确的，但其数字的最大精度无论如何都是12位数字，那些计算器是非CAS的，所以它们实际上并没有得到任何东西
从逻辑上看，1E-7到1E-8之间有一个数字，这会给我一个更精确的结果，有没有办法找到这个数字，或者最少接近它。

ANSWERED

非常感谢您BobG。该应用程序目前计划使用两种形式，一种命令行PC应用程序。和一个Android应用程序。您将特别感谢关于页面的部分内容。如果你希望它会是开源的，但我不会发布链接到项目网站，直到我找出一些非常大的错误。目前我一直称它为Mathulator，但名称可能会因为已经有版权而改变，听起来很愚蠢。当候选发行版运行时，我一点也不知道，当时我不知道它是什么时候将会保持稳定。但如果我能实现我想要的一切，它将会非常强大。再次感谢。快乐编程。

来源

2011-04-04 The Dude

我得到了1E-7和1E-8的平均值更多的十进制小数。这就是5.4999999999999996E-8，得到的结果是8.000000080569821 – 2011-04-04 20:18:13

参见[数值微分]（http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation）。 – trashgod 2011-04-04 20:34:01

有一本书，回答这个问题（和其他类似）：

数字食谱用C，第2版，出版社，Vetterling，Teukolsky，和弗兰纳里。这本书也有C++，Fortran和BASIC版本。可悲的是，没有Java版本存在。此外，我相信这本书已绝版，但可以在线购买某些版本的二手版（至少通过bn.com购买）。

第5.7节“数值衍生物” 186正确地解释了你所看到的数值导数问题，以及它为何发生的原因，以及如何正确计算数值导数的函数（以C语言编写，但应该很容易翻译成Java）。其简单的近似的概要这里介绍：

1）在数字上，你最好计算对称版本：

F'（x）=（F（X + H） - F（X - H））/ 2H

2）H应该是大约（sigma_f）^（1/3）* x_c

其中

sigma_f =〜f的计算的分数精度（X）用于简单功能

x_c =〜x，除非x等于零。

但是，这不会导致最佳导数，因为误差是〜（sigma_f）^（2/3）。一个更好的解决方案是Ridders的算法，它在书中以C程序的形式出现（参见Ridders，CJF 1982，Advances in Engineering Software，vol.4，no.2，pp75-76。）

来源

2011-04-04 20:39:10 BobG

我会研究这个，非常感谢你 – 2011-04-04 21:01:59

非常感谢你，这个（当使用双打而不是单一的浮动）给我大多数功能的确切答案，我从来没有，虽然我会接近真正的答案只是一般接近估计。非常非常感谢你。这实际上给了我TI确切的浮点数，这是我正在寻找的。这帮助我克服了每一个小时，现在一直在寻找一个星期。下一个驼峰.....整合XD，应该很有趣，但我想我知道这一个 – 2011-04-05 01:41:20

阅读标题为“每个程序员应该知道什么是浮点数”（google为它）。然后你会看到大多数浮点值大约在计算机硬件中表示。

要进行没有此缺点的计算，请使用符号计算。但是这不像使用浮点一样有效。

要使浮点结果一致，请使用舍入至最近幂的10，例如0.1,0.01等。要了解何时应该停止apporximations，请在近似步骤中使用某种阈值来监视。例如，如果执行下一个近似步骤只产生。将001％更改为已计算的值，则无法继续使用近似值。

更新我有我的数值计算类很久以前，但我隐约记得，从其减去接近数字是非常糟糕的，因为如果数字非常接近，最可靠的数字被取消了，你有不可靠的数字。这正是您在减少h时发生的情况。在这些情况下建议的是替代减法和其他一些操作。例如，你可以切换到你的`f（x）扩展的某种系列。

我不太理解你的第二个问题，因为答案取决于你的要求 - “尽可能多你想要的”。

顺便说一句，您可能有更好的运气，找到您在math.stackexchange.com的问题的答案。

此外，访问链接通过thrashgod提供：Numerical differentiation

来源

2011-04-04 20:19:31

我已经知道了所有这一切。我的问题是什么是最合适的h，以及如何缩放到任何尺寸 – 2011-04-04 20:40:39

@The Dude I更新了答案。 – 2011-04-04 20:57:03

啊谢谢你，我不知道math.stackexchange.com。 – 2011-04-04 21:00:42

我会用BigDecimal类这类计算的，虽然它不是一个回答你的问题，但它会真正提高浮点运算的精度。

来源

2011-04-04 20:22:08 bvk256

我想仅使用我的代码编写整个计算器。我不想写我自己的余弦和对数例程。我不得不因为BigDecimal不这样做。 – 2011-04-04 20:32:31

1 。浮点数（float和double）的精度取决于数字的绝对值。双打有15位数的精度，所以你可以加1 + 1e-15，但是10 + 1e-15很可能再次是10，所以你必须做10 + 1e-14。为了得到一个有意义的结果，我建议你用原始数字的绝对值乘以1e-8，这将导致你在导数中有大约7个正确的数字。喜欢的东西：

double h = x * 1e-8; 
double derivative = (f(x+h) - f(x))/h;

反正这是一个近似值，也就是说，如果你试图计算sin（x）的在x = 1E9，你会得到H = 10的衍生物和结果将是完全错误的。但对于具有“接近零”的“有趣”部分的“常规”功能，这将工作得很好。

2.“h”越小，您对衍生物进行采样的点越精确，但您得到的衍生物的正确位数越少。我无法证明这一点，但我的直觉是，与h = x * 1e-8你得到7 = 15 - 8正确的数字，其中15是double的精度。

而且，这将是一个好主意，用一个“更对称”的公式，它提供了有关第二次多项式一个绝对正确的答案：

double derivative = (f(x+h) - f(x-h))/(2*h);

来源

2011-04-04 20:43:03

谢谢你的帮助，你说的对，这似乎更加精确。但是1E-7似乎是超精确的9个正确的0。所以让我问你这个。如果我接受了这个罪（1E9），并将其简化为弧度的最低项，这还是更准确的。 sin（pi）= sin（3pi）所以如果我简化为sin（1E9）= sin（不管这是什么），那么就用它作为我的x就是准确的。 – 2011-04-04 20:59:00

是的，对于'sin（x）'的特定情况，您可以将'x'转换为范围（0; 2Pi），然后计算导数。但这已经是某种象征性的数学：你必须知道'f（x）'的周期是2Pi。你会为任何给定的功能做到这一点吗？ – 2011-04-04 21:14:24

据Javadoc中，11位代表指数， 52位表示有效数字。无视指数，看起来你有52位玩家。所以如果你选择h = x * 2^-40，那么你在这里使用了40位，而你看到的精度是2^-12。根据您的需要调整这个比例。

来源

2011-04-04 20:44:39 iluxa

我的问题是什么是最合适的^h，以及如何可以将其缩放为任何尺寸。

如Numerical Differentiation指出的，对于ħ一个合适的选择是SQRT（ɛ） * X，其中ɛ是machine epsilon。

来源

2011-04-04 20:49:03 trashgod

Java在某个点估算衍生物

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