从Euclician 2-空间到Poincare光盘的映射点

Question

由于某些原因，似乎每个人都在撰写有关庞加莱光盘的网页只关心如何表示线条和测量距离。

我想变形到庞加莱光盘上的2D点的集合（由欧几里德平面中的x，y坐标定义），但我不知道算法应该是什么样子。在这一点上，我甚至不知道是否有可能创建欧几里德2空间和庞加莱光盘之间的映射...

任何指针？

商誉， 大卫

Answer 1

您将您的数据描述为点的集合。但是从您的评论中，您想让平面中的线条仍映射到磁盘中的线条。您似乎想要以某种方式保留空间的“结构”，这可能是您使用术语“变形”的原因。我认为你想要一个conformal map。

有没有在disk和飞机之间的共形双射。有是这样的half-plane和磁盘之间的映射，它保留“lines”，但不是你想要的那种，不幸的是。

您说过“我甚至不知道是否可以创建映射”......有许多映射供您选择（请参阅Unit Disk页面作为示例），但是没有你似乎想要的功能。

Answer 2

如果我没有理解错的一切，你上了另一论坛的答案是为凯莱 - 克莱因模型。一旦你的，你可以在Poicare“的坐标盘与

p = b/(1 + sqrt(1 - b * b)) 

凡p是庞加莱坐标的载体”盘（即你的需要）和b是一个在贝尔特拉米 - 克莱恩模型（即你从其他答案中得到的）。