查找matlab中沿弧距离点的位置

Question

我有抛物线y = a *（x-alpha）*（x-beta）其中a，alpha，beta已知 让x1，y1为初始点on上述抛物线。我现在必须从初始点沿弧线覆盖距离D.目标是在覆盖所需的弧距后获得抛物线上的最终位置。

一种方法是不断检查从抛物线的初始位置到终点，并检查积分是否等于所需的距离。但是这个算法需要很长时间才能完成，因为我需要多次这样做。

有没有更快的方法来做到这一点？

Answer 1

好的，抛物线上的线距不是通过积分本身获得的。为了方便，我用\ gamma替换了您的a。

y = gamma(x-alpha)(x-beta) -> gamma*x^2 + (-gamma*alpha - gamma*beta)*x + alpha*beta*gamma 

替换：

a = gamma 
b = -gamma*alpha - gamma*beta 
c = alpha*beta*gamma 

所以可以写成：

f = (1-D)/(4*a) - (-D)/(4*a) 

在：

y = a*x^2 + b*x + c 

从这个公式（抛物线）的焦点f由下式确定其中

d = B^2 - 4 *一个* C

现在首先定义p从一个位置曲线上对称x_p的垂直轴线的垂直距离：

P = -b/（2 * a） - x_p;

从这个弧长的计算方法是：

h = p/2 
q = sqrt(f^2+h^2) 
s = h*q/f + f* ln (h*q/f) 

其中S是你的曲线paramatric表示。

Distance = s_1 - s_2 = (h_1*q_1/f + f * ln (h_1*q_1/f)) - (h_2*q_2/f + f * ln (h_2*q_2/f)) 

随着一些简化：曲线的长度是通过使用两个点秒，然后在这些点之间的距离，所以发现

Distance = (h_1*q_1 - h_2*q_2)/f + f* ln ((h_1 + q_1)/(h_2 + q_2)) 

要完全实现它在MATLAB是由你目前。如果遇到任何问题，请告诉我。

祝你好运，玩得开心！

Answer 2

这是一个非线性方程：给出x1，y1并寻找x2，y2。 x2和y2必须满足抛物线方程，并且它们必须沿曲线满足arclength方程。 http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Arc_length

因此，积分给你第二个等式。现在你有两个方程和两个未知数 - 查找MATLAB fsolve http://www.mathworks.se/help/optim/ug/fsolve.html

假设积分不能分析解决然后就解决它使用数字整合（可以吗？） - 仍然应该不仅仅是蛮力搜索快得多。 ..

如果你需要做很多次，确保以前的解决方案，给出作为初始猜测下一个fsolve /集成呼叫

Answer 3

我有什么是您使用本作也不知道。但让我尽力帮你

那么，这个问题并不是很难解决。我的意思是，这只是一个简单的线条，在抛物线上积分为1。对你有好处，这是以前完成的。 http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#Length_of_an_arc_of_a_parabola

所有你需要做的是找到对称轴，不难，X =（alpha + beta）/ 2，焦点长度（有点棘手，但如果你谷歌，我相信你会发现它）。我找到了你。 https://math.stackexchange.com/questions/574688/what-is-the-focal-width-of-a-parabola显示了抛物线的规范形式，所以你所需要做的就是计算你的公式（http://www.math-prof.com/Alg2/Alg2_Ch_40.asp）

现在你需要解决的方程并不漂亮。把所有的东西都用p来表示，让MatLab为你解决（它不应该永远持续下去）。