如何使用mathematica隐式求解单个变量的微分方程？

Question

我试图迫使数学隐含区分形式的椭圆方程：

x^2/a^2+y^2/b^2 == 100 

与a = 8和b = 6。

命令我使用的是这个样子的：

D[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100/. y -> 3/4*Sqrt[6400-x^2], x] 

其中，y->3/4*Sqrt[6400-x^2]来自于x方面解决y。

我能走到今天按照这里找到的建议：http://www.hostsrv.com/webmaa/app1/MSP/webm1010/implicit

输入此脚本是beween x和y的隐式 关系演算的教科书表示传统的方式。在 Mathematica中，您需要通过使用y [x] 来代替y来明确这种关系。这是在脚本中自动完成的，用y [x]代替 y的所有出现。

但解决数学给人没有在它y'或dy/dx（比如当我解决了它的手）。所以我认为它没有被正确解决。任何关于什么命令会让程序解决隐式差异的想法？谢谢。

Answer 1

的概念最简单的选择（如你所提到的）是使y的x的功能和使用partial derivative operator D[]

In[1]:= D[x^2/a^2 + y[x]^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, y'[x]] 

Out[1]= (2 x)/a^2 + (2 y[x] y'[x])/b^2 == 0 

Out[2]= {{y'[x] -> -((b^2 x)/(a^2 y[x]))}} 

但是对于更复杂的关系，最好使用total derivative operator Dt[]

In[3]:= SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}]; 

In[4]:= Dt[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, Dt[y, x]] 

Out[4]= (2 x)/a^2 + (2 y Dt[y, x, Constants -> {a, b}])/b^2 == 0 

Out[5]= {{Dt[y, x, Constants -> {a, b}] -> -((b^2 x)/(a^2 y))}} 

请注意，使用SetAttributes[{a, b}, Constant]而不是SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}]命令可能会更合适...然后Dt不会携带所有那额外的垃圾。

的最后一个选项（你也提到）是解决y[x]原方程，虽然这并不总是可能的...

In[6]:= rep = Solve[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, y] 

Out[6]= {{y -> -((b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a)}, {y -> (b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a}} 

你可以检查它是否满足我们得到的微分方程上述两种解决方案

In[7]:= D[y /. rep[[1]], x] == -((b^2 x)/(a^2 y)) /. rep[[1]] 

Out[7]= True 

你可以用替换规则{a->8, b->6}随时替换你的价值观a = 8和b = 6。

如果实际使用DSolve与正确的初始条件（从原来的椭圆方程导出），那么你就恢复在上面给出的x条款y解决方案解决您的微分方程y'[x] == -((b^2 x)/(a^2 y[x])。