到平面球面坐标距离

Question

背景信息

考虑像这里显示的一球坐标系：

Coordinate System http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif

对于一个特定的点，我们通过（R，θ，Φ指定其位置）。

A面可以在此坐标系中作为设定的所有点（R，θ，Φ），使得披=披”来描述。

的问题

假设我们有由固定披=披”给定的单个平面内。对于任意点（r，theta，phi），计算从（r，theta，phi）到由phi = phi'定义的平面的距离的最快和最简单的方法是什么？

从本质上讲，我试图找到点到面的距离在球面坐标的简单公式。

我已经试过

我觉得就足够了简单的转换，从球面到笛卡尔坐标生成一个点（X，Y，Z）=（R，θ，Φ），然后生成一个平面也以笛卡尔坐标表示。然后，我可以使用标准公式计算笛卡尔坐标系中从点到平面的距离。 这种方法不是最优的，因为我需要在我的代码的内部循环中运行这个计算数十亿次。

一个理想的答案会告诉我如何计算这个距离，而不转化成直角坐标。然而，如果有人能证实我在“我所尝试过的”这个想法是合理的，这也是有用的。

在此先感谢！

Answer 1

如果您正在寻找R的另一侧（不是在披面），应当由下式给出：

d = |r|sin(90 - theta) 

因为我们有一个直角三角形。

Answer 2

你的做法是“正确的”，但它是一个有点太普通了这个问题。在你遇到的问题中，你正在处理一种特定的平面：一个穿过z轴的平面。

鉴于这个事实，我们可以尝试一个捷径。假设我们围绕z轴旋转坐标系以获得另一个系统（X，Y，z），以便您之前给出的平面现在是X-z平面。

在这个新系统的点的坐标为（R，θ，Φ - 披'）。因此，在X-Z平面上的投影是 r * sin（theta）* sin（phi-phi'）。 这是最后的答案，因为在我们的平面上投影点的长度在两个坐标系中都是相同的。

如果我们处理的是一个普通的平面，你的做法会更好。

Answer 3

只是另一种获得@Parakram Majumdar答案的方法。

A面可以由单位矢量垂直于平面Ñ并且由平面离原点的距离来参数化的，b（见http://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html）。由于你的平面经过原点，我们有：b = 0，单位矢量与平面垂直，单位矢量为phi方向，即phi = [ - sin（phi'），cos（phi '），0]。距离点[R的形成平面只是点积，ñ* R：

n*r = [-sin(phi'), cos(phi'), 0] * [r*sin(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi), r cos(theta)] = r*sin(theta)*sin(phi-phi') 

Answer 4

难道不是R *棕褐色（PHI）？

落入xz平面（假设y轴是极轴），角度phi是“新平面”和当前phi位置之间的角度。

在下图中，phi实际上等于（新phi - 当前phi）。