Matlab，operator A \ B

Question

操作A \ B的结果是什么，其中A（1，m）和B（1，m）？

在手动它是写：

A\B returns a least-squares solution to the system of equations A*x= B. 

因此，这意味着X = INV（A '* A）* A' * B？然而，矩阵A '* A奇异...

让我们假设：

A=[1 2 3] 
B=[6 7 6] 
A\B 

0   0   0 
0   0   0 
2.0000 2.3333 2.0000 

如果已经使用MLS：

C = inv (A'*A) singular matrix 
C = pinv(A'*A) 

0.0051 0.0102 0.0153 
0.0102 0.0204 0.0306 
0.0153 0.0306 0.0459 

D= C*A'*B 

0.4286 0.5000 0.4286 
0.8571 1.0000 0.8571 
1.2857 1.5000 1.2857 

所以导致A \ B和INV（A' * A）* A'* B是不同的...

Answer 1

我的Matlab的（R2010b中）说了很多关于什么A \ B的作用：

mldivide（A，B）和等效A \ B执行矩阵左除（反斜线）。 A和B必须是行数相同的矩阵，除非A是标量，在这种情况下，A \ B执行元素分割 - 即A \ B = A. \ B。

如果A是方阵，A \ B与inv（A）* B大致相同，除了它是以不同的方式计算的。如果A是n×n矩阵，B是具有n个元素的列向量或者具有多个这样的列的矩阵，则X = A \ B是方程AX = B的解。如果A严重缩小或接近单数。如果A是m〜= n的m×n矩阵，B是具有m个分量的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，那么X = A \ B是最小二乘感觉到方程AX = B的方程式不足或超定。换句话说，X最小化范数（A * X - B），即向量AX - B的长度。A的秩k由QR分解确定，列旋转。计算的解决方案X每列至多有k个非零元素。如果k < n，这通常与x = pinv（A）* B不同，它返回最小二乘解。

mrdivide（B，A）和等效的B/A执行矩阵右分（正斜杠）。 B和A必须具有相同的列数。

如果A是方矩阵，则B/A与B * inv（A）大致相同。如果A是n×n矩阵，B是具有n个元素的行向量或具有多个这样的行的矩阵，则X = B/A是通过高斯消元利用部分枢转计算的等式XA = B的解。如果A严重缩放或接近单数，则会显示警告消息。

如果B是一个m乘n的矩阵，m = n且A是一个具有m个分量的列向量，或者是一个具有多个这样的列的矩阵，那么X = B/A是最小二乘感方程XA = B.

Answer 2

x = inv (A'*A)*A'*B无二超定系统（即哪个特征A作为n x m矩阵与n>m;在这种情况下A'A是可逆的）。

在你的情况下，你有一个根据确定的系统。

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因此，会发生什么？

我的意见，但你可以检查，至少在你的情况：

当你做A\B MATLAB解决了逆感测w.r.t.优化问题通常的最小二乘法，即

X = argmin_{X \in S} ||X||, 

其中S是一组解决方案。换句话说，它为您提供了具有最小L^2范数的系统的解决方案。 （考虑到你可以用手处理这个问题，至少在你的情况下）。

Answer 3

链接到在另一个论坛回答的不足或超定：

https://math.stackexchange.com/questions/237226/matlab-operator-a-b

感谢您的帮助。