当矩阵的所有条目都是变量时，如何计算出matlab中矩阵的特征值？

Question

我有一堆未知常数的矩阵，如下面的一个：

a*b  -c  -d  0 
    -c  e  -a -b-d 
    -d  -a  d -e 
    0  -b-d -e  a 

正如你可能知道它是关于对角线因此，对角线值都是正对称。所有常数大于0.

我想解决这个问题在MATLAB中的特征值。我会如何去做这件事？我不知道数值a，b，c，d和e。我想这样做：

d = eig(@getMatrix) 

但eig函数不接受函数句柄。

Answer 1

在MATLAB中没有问题。

>> syms a b c d e 
>> M = [a*b  -c  -d  0 
    -c  e  -a -b-d 
    -d  -a  d -e 
    0  -b-d -e  a]; 

>> eig(M) 
ans = 
a/4 + d/4 + e/4 + (a*b)/4 - ((51*a*d^3)/16 - (117*a^4*b)/16 + (27*a^3*d)/16 + (27*a*e^3)/16 + (57*b*d^3)/2 + (27*a^3*e)/16 + (27*d*e^3)/16 + (51*d^3*e)/16 + 6*((4*(2*b*d - (a*e)/4 - (a*d)/4 - (d*e)/4 - (a^2*b)/4 + (11*a^2)/8 + b^2 + c^2 + (19*d^2)/8 + (11*e^2)/8 + (3*a^2*b^2)/8 - (a*b*d)/4 - (a*b*e)/4)*((17*a*d^3)/64 - (39*a^4*b)/64 + (9*a^3*d)/64 + (9*a*e^3)/64 + (19*b*d^3)/8 + (9*a^3*e)/64 + (9*d*e^3)/64 + (17*d^3*e)/64 + (45*a^4)/256 + (285*d^4)/256 + (45*e^4)/256 - (a^2*b^2)/16 + (a^2*b^3)/8 + (3*a^2*b^4)/16 + (31*a^4*b^2)/128 + (a^4*b^3)/64 - (3*a^4*b^4)/256 + (3*a^2*c^2)/16 + (15*a^2*d^2)/128 - (9*a^2*e^2)/128 + (19*b^2*d^2)/16 - (b^2*e^2)/16 + (3*c^2*d^2)/16 + (15*c^2*e^2)/16 + 
... 

(a*b*c^2*e)/8 + (3*a*b*d*e^2)/64 + (11*a*b*d^2*e)/64 + (a*b^2*d*e)/4 - (33*a^2*b*d*e)/32 - (5*a^2*b^2*d*e)/64 + (a*b*d*e)/4 + (a*c*d*e)/2 - 2*b*c*d*e) - 256*((17*a*d^3)/64 - (39*a^4*b)/64 + (9*a^3*d)/64 + (9*a*e^3)/64 + (19*b*d^3)/8 + (9*a^3*e)/64 + (9*d*e^3)/64 + (17*d^3*e)/64 + (45*a^4)/256 + (285*d^4)/256 + (45*e^4)/256 - (a^2*b^2)/16 + (a^2*b^3)/8 + (3*a^2*b^4)/16 + (31*a^4*b^2)/128 + (a^4*b^3)/64 - (3*a^4*b^4)/256 + (3*a^2*c^2)/16 + (15*a^2*d^2)/128 - (9*a^2*e^2)/128 + (19*b^2*d^2)/16 - (b^2*e^2)/16 + (3*c^2*d^2)/16 + (15*c^2*e^2)/16 + (15*d^2*e^2)/1... 

Output truncated. Text exceeds maximum line length of 25,000 characters for Command Window display. 

我在那里删除了很多。无可否认，它相当混乱和冗长，但你真的可以期待更好吗？

编辑：我应该评论说，这样一个很长的扩展公式在计算精度方面可能是危险的。我已经看到人们一味地使用这样一个表达式，在Fortran或MATLAB中对其进行评估。他们认为，因为它是“符号的”，它也是确切的。数值计算完成后，这是完全错误的。

在这些条件下，很可能会有巨大的消减性消除，由于浮点计算的动态范围有限，巨大的正数和负数几乎相互抵消，留下的微小结果基本上毫无价值。谨防。至少，比较使用相同表达式完成的单精度和双精度计算。如果它们差异很大，请尝试扩展精度版本以确认双打没有问题。如果你还没有测试过这样一个表达式并进行了广泛的验证，不要相信它。