OpenGL从速度矢量旋转

Question

这应该很容易，但我一直试图找到一个简单的解释，我可以把握。我有一个对象，我想在OpenGL中表示为一个圆锥体。该物体具有x，y，z坐标和速度矢量vx，vy和vz。锥应指向速度矢量的方向。

所以，我觉得我的PyOpenGL代码应该是这个样子：

glPushMatrix() 
glTranslate(x, y, z) 
glPushMatrix() 

# do some sort of rotation here # 

glutSolidCone(base, height, slices, stacks) 
glPopMatrix() 
glPopMatrix() 

那么，是正确的（迄今为止）？我用什么来代替“＃在这里做某种旋转＃”？

在我的世界里，Z轴指向（0,0,1），没有任何旋转，我的锥体也是如此。

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好吧，雷托Koradi的答案似乎是，我应该采取的办法，但我不知道的一些实施细则和我的代码是行不通的。

如果我理解正确，旋转矩阵应该是4x4。 Reto向我展示了如何获得3x3，所以我假定3x3应该是4x4单位矩阵的左上角。这里是我的代码：

import numpy as np 

def normalize(v): 
    norm = np.linalg.norm(v) 
    if norm > 1.0e-8: # arbitrarily small 
     return v/norm 
    else: 
     return v 

def transform(v): 
    bz = normalize(v) 
    if (abs(v[2]) < abs(v[0])) and (abs(v[2]) < abs(v[1])): 
     by = normalize(np.array([v[1], -v[0], 0])) 
    else: 
     by = normalize(np.array([v[2], 0, -v[0]])) 
     #~ by = normalize(np.array([0, v[2], -v[1]])) 

    bx = np.cross(by, bz) 
    R = np.array([[bx[0], by[0], bz[0], 0], 
        [bx[1], by[1], bz[1], 0], 
        [bx[2], by[2], bz[2], 0], 
        [0,  0,  0,  1]], dtype=np.float32) 

    return R 

，这里是它被插入渲染代码的方式：

glPushMatrix() 
glTranslate(x, y, z) 
glPushMatrix() 

v = np.array([vx, vy, vz]) 
glMultMatrixf(transform(v)) 

glutSolidCone(base, height, slices, stacks) 
glPopMatrix() 
glPopMatrix() 

不幸的是，这是行不通的。我的测试案例锥体只是没有正确指出，我无法识别失败模式。如果没有“glutMultMatrixf（变换（V）”行，锥沿z轴对齐，符合市场预期。

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它的工作。雷托Koradi正确地确定了需要旋转矩阵，以便匹配移调。的OpenGL列顺序的代码应该是这样的（优化前）：

def transform(v): 
    bz = normalize(v) 
    if (abs(v[2]) < abs(v[0])) and (abs(v[2]) < abs(v[1])): 
     by = normalize(np.array([v[1], -v[0], 0])) 
    else: 
     by = normalize(np.array([v[2], 0, -v[0]])) 
     #~ by = normalize(np.array([0, v[2], -v[1]])) 

    bx = np.cross(by, bz) 
    R = np.array([[bx[0], by[0], bz[0], 0], 
        [bx[1], by[1], bz[1], 0], 
        [bx[2], by[2], bz[2], 0], 
        [0,  0,  0,  1]], dtype=np.float32) 

    return R.T 

Answer 1

一个有用的概念，这里要记住的是，线性变换也可以被解释为坐标系的变化。换句话说，而不是描绘点在坐标系统内转换，你可以很好地描绘点的位置，但它们的位置坐标以新的坐标系表示。当查看表达变换的矩阵时，这个新坐标系的基向量是矩阵的列向量。

在下面，新坐标系的基矢量被命名为bx,by和bz。由于旋转矩阵的列需要是正交的，所以bx,by和bz需要形成正交的向量集合。

在这种情况下，原始锥体沿着z轴取向。由于您希望锥体沿着(vx, vy, vz)取向，所以我们使用此矢量作为新坐标系的z轴。因为我们希望有一个标准正交坐标系中，唯一剩下要做获得bz是归这个载体：

   [vx] 
bz = normalize([vy]) 
       [vz] 

由于锥体是旋转对称的，它并没有真正无论怎么剩余的两个基向量被选择，只要它们都与bz正交，并且彼此正交。找到给定矢量的任意正交矢量的简单方法是保持一个坐标0，交换其他两个坐标，并更改这两个坐标之一的符号。同样，矢量需要进行归一化。我们可以用这种方法选择的载体包括：

   [ vy]     [ vz]     [ 0 ] 
by = normalize([-vx]) by = normalize([ 0 ]) by = normalize([ vz]) 
       [ 0 ]     [-vx]     [-vy] 

每个向量与(vx, vy, vz)的点积为零，这意味着向量是正交的。

虽然这些（或其他变体）之间的选择大多是任意的，但必须注意不要以退化矢量结束。例如，如果vx和vy都为零，则使用这些向量中的第一个将是不好的。为避免选择（近）简并向量，一个简单的策略是使用这三个向量中的第一个，如果vz小于vx和vy，并且另外两个之一。

有了两个新的基矢量，第三是其它两个的叉积：

bx = by x bz 

所有剩下的是填充具有列向量bx，by和bz旋转矩阵，并且旋转矩阵已完成：

[ bx.x by.x bz.x ] 
R = [ bx.y by.y bz.y ] 
    [ bx.z by.z bz.z ] 

如果您需要4x4矩阵，例如因为你使用的是传统的固定功能的OpenGL管道，您可以将此扩展到4x4矩阵：

[ bx.x by.x bz.x 0 ] 
R = [ bx.y by.y bz.y 0 ] 
    [ bx.z by.z bz.z 0 ] 
    [ 0 0 0 1 ]