找到优化的旋转

Question

我有一个应用程序，我必须找到从一组15个订购者&索引的3D点（X1，X2，...，X15）到具有相同索引的另一组15点的旋转（1初始点对应1个最终点）。

我读过很多关于寻找欧拉角（对某些人来说是邪恶的）旋转，四元数或在基轴上投影矢量的旋转。但是我还有一个额外的限制：我的最终设置的几个点可能是错误的（即有错误的坐标），所以我想区分要求旋转离中位旋转很远的点。我的问题是：对于每组3点（不对齐的）和他们的图像，我可以计算四元数（根据变换矩阵不会是纯旋转的事实，我有一些额外的计算，但它可以做完了）。所以我得到一组四元数（最多455个），我想删除错误的四元数。

有没有办法找到远离平均旋转的旋转点？ “平均数”和“标准偏差”是否意味着四元数或我必须计算欧拉角？一旦我有了“好”四元数集，我怎么才能计算出“平均”四元数/旋转？

干杯，

Ricola3D

Answer 1

在计算机视觉中，有一种叫做RANSAC的技术用于做你想要的东西。您不需要找到所有可能的四元数，而是使用一组最小的点对应来查找单个四元数/变换矩阵。然后，您将评估所有适合质量的要点，放弃那些不适合的要求。如果你没有足够好的比赛，也许你在原来的比赛中有一场糟糕的比赛。所以你会扔掉那个尝试，然后再试一次。如果你确实得到了足够好的匹配，你将对所有的内点得到最小二乘回归拟合，得到一个新的变换矩阵，然后迭代直到你对结果满意为止。

或者，你可以把你所有的归一化四元数，并找到它们之间的点积。点积应该总是正值;如果它不是用于任何给定的计算，则应该否定两个四元组之一的所有组件并重新计算。然后，您可以在四元数之间进行距离度量，您可以聚类或查找空位。

Answer 2

这里有2个问题：

• 你怎么计算的点的任意数目的 “最佳”？
• 如何决定接受哪些点以及拒绝哪些点？

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一般的答案首先是， “做一个least squares适合”。四元数可能比欧拉角更好;请尝试以下操作：

foreach point pair (a -> b), ideal rotation by unit quaternion q is: 
    b = q a q* -> q a - b q = 0 

所以，寻找最小二乘适合q：

minimize sum[over i] of |q a_i - b_i q|^2 
under the constraint: |q|^2 = 1 

如上介绍，最小二乘问题是线性的，除了约束，这应该使它比欧拉角公式更容易求解。

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对于第二个问题，我可以看到两种方法：

• 如果你点不算太离谱，你可以尝试解算器的所有点运行最小二乘，然后返回，抛出“异常值”（那些平方误差最大的点对），然后再试一次。
• 如果矛盾不切实际的点正在抛弃上述过程，您可以尝试选择3对或4对的随机小小子集，并找到每个子集的最小二乘法。如果一大组这些结果具有相似的旋转和低总误差，则可以使用它来识别“良好”对（从而消除不良对）。然后返回并找到适合所有良好配对的最小二乘方。