如果椭圆的长轴是垂直或水平的，那么计算边界框很容易，但椭圆旋转的时候怎么办？如何计算椭圆的轴对齐边界框？
目前我能想到的唯一方法是计算周边的所有点并找到最大/最小x和y值。似乎应该有一个更简单的方法。
如果有一个函数（在数学意义上）描述一个任意角度的椭圆，然后我可以使用它的导数找到斜率为零或未定义的点，但我似乎无法找到一个点。
编辑：为了澄清，我需要轴对齐的边界框，即它不应该与椭圆一起旋转，但保持与x轴对齐，因此转换边界框将不起作用。
你可以尝试使用参数化椭圆的方程以任意角度旋转：
x = h + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi) [1]
y = k + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi) [2]
...其中椭圆的中心（h，k）半长轴a和半短轴b旋转了角度φ。
然后可以区分和解决梯度= 0：
0 = dx/dt = -a*sin(t)*cos(phi) - b*cos(t)*sin(phi)
=>
tan(t) = -b*tan(phi)/a [3]
这应该给你在t许多解决方案（其中两个您有兴趣），插头返回到[1]以获得最大和最小x。
重复为[2]：
0 = dy/dt = b*cos(t)*cos(phi) - a*sin(t)*sin(phi)
=>
tan(t) = b*cot(phi)/a [4]
让我们试着一个例子：其中a = 2
考虑在（0,0）的椭圆，b = 1，通过PI/4旋转：
[1] =>
x = 2*cos(t)*cos(PI/4) - sin(t)*sin(PI/4)
[3] =>
tan(t) = -tan(PI/4)/2 = -1/2
=>
t = -0.4636 + n*PI
我们感兴趣的是T = -0.4636和t = -3.6052
所以我们得到：
x = 2*cos(-0.4636)*cos(PI/4) - sin(-0.4636)*sin(PI/4) = 1.5811
和
x = 2*cos(-3.6052)*cos(PI/4) - sin(-3.6052)*sin(PI/4) = -1.5811
我认为最有用的公式是这一个。从原点的角度披旋转省略号具有如方程：
，其中（H，K）是中心，a和b的长轴和短轴的尺寸和t从-pi到pi不等。
从这一点，你应该能够得出其中T DX/DT或DY/DT变为0
我现在感觉很慢，花了很多时间写了我的答案T.T – 2008-09-17 21:51:09
这是相对简单的，但有点难以解释，因为你没有给我们你代表你的椭圆的方式。有很多方法可以做到这一点..
无论如何，总的原则是这样的：你不能直接计算轴对齐的边界框。但是，您可以将x和y中的椭圆的极值计算为二维空间中的点。 （t）= ellipse_equation（t）和y（t）= ellipse_equation（t），这就足够了。获取它的一阶导数并解决它的根源。因为我们正在处理基于三角函数的椭圆，这很简单。你应该得到一个方程，通过atan，acos或asin得到根。
提示：要检查您的代码，请尝试使用未旋转的椭圆：您应该在0，Pi/2，Pi和3 * Pi/2处获取根。
对每个轴（x和y）都这样做。您最多可以获得四个根（如果您的椭圆退化了，则减少，例如其中一个半径为零）。评估根部的位置并获得椭圆的所有极值点。
现在你快到了。获取椭圆的边界框就像扫描xmin，xmax，ymin和ymax这四个点一样简单。
顺便说一句 - 如果您在找到椭圆方程时遇到问题：尝试将其缩小为具有中心，两个半径和中心周围的旋转角度的轴对齐的椭圆的情况。
如果这样做的公式变成：
// the ellipse unrotated:
temp_x (t) = radius.x * cos(t);
temp_y (t) = radius.y = sin(t);
// the ellipse with rotation applied:
x(t) = temp_x(t) * cos(angle) - temp_y(t) * sin(angle) + center.x;
y(t) = temp_x(t) * sin(angle) + temp_y(t) * cos(angle) + center.y;
我发现了一个简单的公式在http://www.iquilezles.org/www/articles/ellipses/ellipses.htm（而忽略了Z轴）。
我实现它大致是这样的：
num ux = ellipse.r1 * cos(ellipse.phi);
num uy = ellipse.r1 * sin(ellipse.phi);
num vx = ellipse.r2 * cos(ellipse.phi+PI/2);
num vy = ellipse.r2 * sin(ellipse.phi+PI/2);
num bbox_halfwidth = sqrt(ux*ux + vx*vx);
num bbox_halfheight = sqrt(uy*uy + vy*vy);
Point bbox_ul_corner = new Point(ellipse.center.x - bbox_halfwidth,
ellipse.center.y - bbox_halfheight);
Point bbox_br_corner = new Point(ellipse.center.x + bbox_halfwidth,
ellipse.center.y + bbox_halfheight);
该代码是基于所述码user1789690上面作出了贡献，但在Delphi实现。我已经测试了这一点，并且据我所知可以完美地工作。我花了整整一天的时间寻找一个算法或一些代码，测试了一些不起作用的结果，我很高兴终于找到了上面的代码。我希望有人认为这很有用。此代码将计算旋转椭圆的边界框。边界框是轴对齐的，而不是随着椭圆旋转。半径是旋转前的椭圆。
type
TSingleRect = record
X: Single;
Y: Single;
Width: Single;
Height: Single;
end;
function GetBoundingBoxForRotatedEllipse(EllipseCenterX, EllipseCenterY, EllipseRadiusX, EllipseRadiusY, EllipseAngle: Single): TSingleRect;
var
a: Single;
b: Single;
c: Single;
d: Single;
begin
a := EllipseRadiusX * Cos(EllipseAngle);
b := EllipseRadiusY * Sin(EllipseAngle);
c := EllipseRadiusX * Sin(EllipseAngle);
d := EllipseRadiusY * Cos(EllipseAngle);
Result.Width := Hypot(a, b) * 2;
Result.Height := Hypot(c, d) * 2;
Result.X := EllipseCenterX - Result.Width * 0.5;
Result.Y := EllipseCenterY - Result.Height * 0.5;
end;
这里是的情况下的公式，如果椭圆由其灶和偏心（为在那里通过轴的长度，中心和角度给定的情况下，请参阅例如在答复user1789690）给出。
即，如果病灶是（X0，Y0）和（x1，y1）和偏心率e，然后
bbox_halfwidth = sqrt(k2*dx2 + (k2-1)*dy2)/2
bbox_halfheight = sqrt((k2-1)*dx2 + k2*dy2)/2
其中
dx = x1-x0
dy = y1-y0
dx2 = dx*dx
dy2 = dy*dy
k2 = 1.0/(e*e)
我导出的公式从应答由用户1789690和约翰尼尔森。
Brilian Johan Nilsson。 我已经转录你的代码为C＃ - ellipseAngle现在在度：
private static RectangleF EllipseBoundingBox(int ellipseCenterX, int ellipseCenterY, int ellipseRadiusX, int ellipseRadiusY, double ellipseAngle)
{
double angle = ellipseAngle * Math.PI/180;
double a = ellipseRadiusX * Math.Cos(angle);
double b = ellipseRadiusY * Math.Sin(angle);
double c = ellipseRadiusX * Math.Sin(angle);
double d = ellipseRadiusY * Math.Cos(angle);
double width = Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2)) * 2;
double height = Math.Sqrt(Math.Pow(c, 2) + Math.Pow(d, 2)) * 2;
var x= ellipseCenterX - width * 0.5;
var y= ellipseCenterY + height * 0.5;
return new Rectangle((int)x, (int)y, (int)width, (int)height);
}
这是我寻找紧密配合矩形任意方位椭圆函数
我有OpenCV的矩形和点实施：
CG - 中心的椭圆的
大小 - 椭圆的主要，次要轴
角 - 椭圆
cv::Rect ellipse_bounding_box(const cv::Point2f &cg, const cv::Size2f &size, const float angle) {
float a = size.width/2;
float b = size.height/2;
cv::Point pts[4];
float phi = angle * (CV_PI/180);
float tan_angle = tan(phi);
float t = atan((-b*tan_angle)/a);
float x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
float y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[0] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1/tan(phi)))/a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[1] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
phi += CV_PI;
tan_angle = tan(phi);
t = atan((-b*tan_angle)/a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[2] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1/tan(phi)))/a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[3] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
long left = 0xfffffff, top = 0xfffffff, right = 0, bottom = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
left = left < pts[i].x ? left : pts[i].x;
top = top < pts[i].y ? top : pts[i].y;
right = right > pts[i].x ? right : pts[i].x;
bottom = bottom > pts[i].y ? bottom : pts[i].y;
}
cv::Rect fit_rect(left, top, (right - left) + 1, (bottom - top) + 1);
return fit_rect;
}
如果您的OpenCV/C++操作和使用cv::fitEllipse(..)功能的定位，你可能需要边界椭圆的矩形。在这里我用迈克的答案提出了一个解决方案：
// tau = 2 * pi, see tau manifest
const double TAU = 2 * std::acos(-1);
cv::Rect calcEllipseBoundingBox(const cv::RotatedRect &anEllipse)
{
if (std::fmod(std::abs(anEllipse.angle), 90.0) <= 0.01) {
return anEllipse.boundingRect();
}
double phi = anEllipse.angle * TAU/360;
double major = anEllipse.size.width/2.0;
double minor = anEllipse.size.height/2.0;
if (minor > major) {
std::swap(minor, major);
phi += TAU/4;
}
double cosPhi = std::cos(phi), sinPhi = std::sin(phi);
double tanPhi = sinPhi/cosPhi;
double tx = std::atan(-minor * tanPhi/major);
cv::Vec2d eqx{ major * cosPhi, - minor * sinPhi };
double x1 = eqx.dot({ std::cos(tx), std::sin(tx) });
double x2 = eqx.dot({ std::cos(tx + TAU/2), std::sin(tx + TAU/2) });
double ty = std::atan(minor/(major * tanPhi));
cv::Vec2d eqy{ major * sinPhi, minor * cosPhi };
double y1 = eqy.dot({ std::cos(ty), std::sin(ty) });
double y2 = eqy.dot({ std::cos(ty + TAU/2), std::sin(ty + TAU/2) });
cv::Rect_<float> bb{
cv::Point2f(std::min(x1, x2), std::min(y1, y2)),
cv::Point2f(std::max(x1, x2), std::max(y1, y2))
};
return bb + anEllipse.center;
}
谢谢。这是有效的，除非你在方程式二中有一个错字。减号应该是一个加号。 – 2008-09-17 23:00:44
固定，似乎我也跟着[2] tan（t）的解决方案，所以我也修正了这一点。希望你能发现我所有的错误 - 这里都是在信封的背面涂写的..;） – 2008-09-18 00:18:01