将排列的排列索引到其他排列的排列中

Question

我正在考虑按字典顺序排列0，...，n-1的所有排列组合。我给出了两个等级，我和j，并要求找出将第i个置换应用于第j个置换所产生的排列的排列。

对于n = 3所述的几个例子：

P（3）= [1，2，0]，P（4）= [2，0,1]，结果= [0，1，2 ]，秩= 0

鉴于我= J = 4，我们得到[2，0,1]适用于本身是[1,2，0]，秩= 3

什么我来到目前为止：我通过Lehmer代码将等级转换为它们各自的排列，计算所需的排列，并通过Lehmer代码转换回排名。

任何人都可以提出一种方法，从另外两个等级中获得想要的排列的排名，而不必实际计算排列吗？存储n！ x n！数组不是一个选项。

-edit-请注意，如果某些其他命令会启用此功能，我不会使用字典顺序。

-edit-这里是n！由n！网格为n = 3 & 4，用于词典排名。第i行被索引到第j列以获取输出。请注意，n = 3网格与n = 4网格的左上角相同。

00|01|02|03|04|05| 
01|00|03|02|05|04| 
02|04|00|05|01|03| 
03|05|01|04|00|02| 
04|02|05|00|03|01| 
05|03|04|01|02|00| 

00|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15|16|17|18|19|20|21|22|23| 
01|00|03|02|05|04|07|06|09|08|11|10|13|12|15|14|17|16|19|18|21|20|23|22| 
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03|05|01|04|00|02|09|11|07|10|06|08|15|17|13|16|12|14|21|23|19|22|18|20| 
04|02|05|00|03|01|10|08|11|06|09|07|16|14|17|12|15|13|22|20|23|18|21|19| 
05|03|04|01|02|00|11|09|10|07|08|06|17|15|16|13|14|12|23|21|22|19|20|18| 
06|07|12|13|18|19|00|01|14|15|20|21|02|03|08|09|22|23|04|05|10|11|16|17| 
07|06|13|12|19|18|01|00|15|14|21|20|03|02|09|08|23|22|05|04|11|10|17|16| 
08|10|14|16|20|22|02|04|12|17|18|23|00|05|06|11|19|21|01|03|07|09|13|15| 
09|11|15|17|21|23|03|05|13|16|19|22|01|04|07|10|18|20|00|02|06|08|12|14| 
10|08|16|14|22|20|04|02|17|12|23|18|05|00|11|06|21|19|03|01|09|07|15|13| 
11|09|17|15|23|21|05|03|16|13|22|19|04|01|10|07|20|18|02|00|08|06|14|12| 
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19|13|18|07|12|06|21|15|20|01|14|00|23|09|22|03|08|02|17|11|16|05|10|04| 
20|14|22|08|16|10|18|12|23|02|17|04|19|06|21|00|11|05|13|07|15|01|09|03| 
21|15|23|09|17|11|19|13|22|03|16|05|18|07|20|01|10|04|12|06|14|00|08|02| 
22|16|20|10|14|08|23|17|18|04|12|02|21|11|19|05|06|00|15|09|13|03|07|01| 
23|17|21|11|15|09|22|16|19|05|13|03|20|10|18|04|07|01|14|08|12|02|06|00| 

下面是n = 4的事实根据。为了紧凑，我将最后一位数字保持为零。

000|001|010|011|020|021|100|101|110|111|120|121|200|201|210|211|220|221|300|301|310|311|320|321| 
001|000|011|010|021|020|101|100|111|110|121|120|201|200|211|210|221|220|301|300|311|310|321|320| 
010|020|000|021|001|011|110|120|100|121|101|111|210|220|200|221|201|211|310|320|300|321|301|311| 
011|021|001|020|000|010|111|121|101|120|100|110|211|221|201|220|200|210|311|321|301|320|300|310| 
020|010|021|000|011|001|120|110|121|100|111|101|220|210|221|200|211|201|320|310|321|300|311|301| 
021|011|020|001|010|000|121|111|120|101|110|100|221|211|220|201|210|200|321|311|320|301|310|300| 
100|101|200|201|300|301|000|001|210|211|310|311|010|011|110|111|320|321|020|021|120|121|220|221| 
101|100|201|200|301|300|001|000|211|210|311|310|011|010|111|110|321|320|021|020|121|120|221|220| 
110|120|210|220|310|320|010|020|200|221|300|321|000|021|100|121|301|311|001|011|101|111|201|211| 
111|121|211|221|311|321|011|021|201|220|301|320|001|020|101|120|300|310|000|010|100|110|200|210| 
120|110|220|210|320|310|020|010|221|200|321|300|021|000|121|100|311|301|011|001|111|101|211|201| 
121|111|221|211|321|311|021|011|220|201|320|301|020|001|120|101|310|300|010|000|110|100|210|200| 
200|300|100|301|101|201|210|310|000|311|001|211|110|320|010|321|011|111|120|220|020|221|021|121| 
201|301|101|300|100|200|211|311|001|310|000|210|111|321|011|320|010|110|121|221|021|220|020|120| 
210|310|110|320|120|220|200|300|010|321|020|221|100|301|000|311|021|121|101|201|001|211|011|111| 
211|311|111|321|121|221|201|301|011|320|021|220|101|300|001|310|020|120|100|200|000|210|010|110| 
220|320|120|310|110|210|221|321|020|300|010|200|121|311|021|301|000|100|111|211|011|201|001|101| 
221|321|121|311|111|211|220|320|021|301|011|201|120|310|020|300|001|101|110|210|010|200|000|100| 
300|200|301|100|201|101|310|210|311|000|211|001|320|110|321|010|111|011|220|120|221|020|121|021| 
301|201|300|101|200|100|311|211|310|001|210|000|321|111|320|011|110|010|221|121|220|021|120|020| 
310|210|320|110|220|120|300|200|321|010|221|020|301|100|311|000|121|021|201|101|211|001|111|011| 
311|211|321|111|221|121|301|201|320|011|220|021|300|101|310|001|120|020|200|100|210|000|110|010| 
320|220|310|120|210|110|321|221|300|020|200|010|311|121|301|021|100|000|211|111|201|011|101|001| 
321|221|311|121|211|111|320|220|301|021|201|011|310|120|300|020|101|001|210|110|200|010|100|000| 

Answer 1

我发现的算法中的线性时间排列和队伍之间进行转换。这不是我想要的，但可能足够好。事实证明，我不关心字典顺序的事实很重要。这使用的排名很奇怪。我要给出两个函数，一个从一个等级转换为一个排列，另一个执行相反的操作。

一是unrank（去从排名到置换）

Initialize: 
n = length(permutation) 
r = desired rank 
p = identity permutation of n elements [0, 1, ..., n] 

unrank(n, r, p) 
    if n > 0 then 
    swap(p[n-1], p[r mod n]) 
    unrank(n-1, floor(r/n), p) 
    fi 
end 

接下来，排名：

Initialize: 
p = input permutation 
q = inverse input permutation (in linear time, q[p[i]] = i for 0 <= i < n) 
n = length(p) 

rank(n, p, q) 
    if n=1 then return 0 fi 
    s = p[n-1] 
    swap(p[n-1], p[q[n-1]]) 
    swap(q[s], q[n-1]) 
    return s + n * rank(n-1, p, q) 
end 

这是伪代码。对于我的项目，我会小心处理一份p的副本，所以在计算排名时我不会改变它。

这两者的运行时间都是O（n）。

有一个不错的，可读的文件，解释为什么这个工程：排名& Unranking排列组合的线性时间，通过Myrvold & Ruskey，信息处理快报79卷第6期，2001年9月30日，页281-284。

http://webhome.cs.uvic.ca/~ruskey/Publications/RankPerm/MyrvoldRuskey.pdf

Answer 2

如果，除了R，你不执着于一个特别是对任一，我们可以重新排列功能，方便可能的答案。下面的函数newPerm将与R相关的列表以与“索引到”的排列函数相同的一致性排列。

以下示例未针对效率进行优化（例如，可以在O（n）中完成排名/排序）。最后两行输出将重新定义的排列函数与“索引”排列函数进行比较 - 如您所见，它们在映射到排列集合时都会生成相同数量的唯一排列。函数f将是该问题的答案。

Haskell代码：

import Data.List (sort,permutations) 
import Data.Maybe (fromJust) 

sortedPermutations = sort $ permutations [0,1,2,3,4,5,6] 

rank p = fromJust (lookup p rs) where rs = zip sortedPermutations [0..] 

unrank r = fromJust (lookup r ps) where ps = zip [0..] sortedPermutations 

tradPerm p s = foldr (\a b -> s!!a : b) [] p 

newPerm p s = unrank (f (rank p) (rank s)) 

f r1 r2 = let l = r1 - r2 in if l < 0 then length sortedPermutations + l else l 

输出：

*Main Data.List> unrank 3 
[0,1,2,3,5,6,4] 

*Main Data.List> unrank 8 
[0,1,2,4,5,3,6] 

*Main Data.List> f 3 8 
5035 

*Main Data.List> newPerm [0,1,2,3,5,6,4] [0,1,2,4,5,3,6] 
[6,5,4,3,0,2,1] 

*Main Data.List> rank [6,5,4,3,0,2,1] 
5035 

*Main Data.List> length $ group $ sort $ map (tradPerm [1,2,5,0,4,3,6]) sortedPermutations 
5040 

*Main Data.List> length $ group $ sort $ map (newPerm [1,2,5,0,4,3,6]) sortedPermutations 
5040