什么是浮点数的“偏差值”？

Question

在学习如何在计算机中表示浮点数时，我遇到了“偏差值”这个词，我不太明白。

浮点数的偏差值与浮点数的指数部分的负值和正值有关。

浮点数的偏移值是127，这意味着总是将127添加到浮点数的指数部分。这样做如何帮助确定指数是否为负值或正值？

Answer 1

在单精度浮点上，您可以获得8位来存储指数。不是将它作为一个带符号的二进制补码存储起来，而是决定只需在指数中加127即可（因为最低的可能是8位有符号的是-127），并将其存储为无符号数。如果存储值大于偏差，则表示指数的值为正数，如果它低于偏差，则为负数，如果相等，则为零。

Answer 2

b0lt已经解释了偏差是如何工作的。有人猜测，也许你想知道为什么他们在这里使用偏差表示，即使几乎所有的现代计算机都基本上在其他地方使用二进制补码（甚至不使用二进制补码的机器，使用补码或符号 - 大小，而不是偏见）。

IEEE浮点标准的目标之一是，您可以将浮点数的位作为具有相同大小的（带符号）整数进行处理，如果您将它们进行比较，则这些值将排序为与它们表示的浮点数的顺序相同。

如果对指数使用二进制补码表示，则小的正数（即具有负指数）看起来像是一个非常大的整数，因为第二个MSB将被设置。通过使用偏差表示来代替，您不会遇到这种情况 - 浮点数中较小的指数总是看起来像一个较小的整数。

FWIW，这也是为什么浮点数通常先按符号排列，然后是指数，最后是最低有效位中的有效位数 - 这样，您可以采用正浮点数，将这些位作为整数，并对它们进行分类。当你这样做的时候，结果将会有正确顺序的浮点数。例如：

#include <vector> 
#include <algorithm> 
#include <iostream> 

int main() { 
    // some arbitrary floating point values 
    std::vector<double> vals = { 1e21, 1, 2.2, 2, 123, 1.1, 0.0001, 3, 17 }; 
    std::vector<long long> ivals; 

    // Take those floating point values, and treat the bits as integers: 
    for (auto &&v : vals) 
     ivals.push_back(*reinterpret_cast<long long *>(&v)); 

    // Sort them as integers: 
    std::sort(ivals.begin(), ivals.end()); 

    // Print out both the integers and the floating point value those bits represent: 
    for (auto &&i : ivals) 
     std::cout << i << "\t(" << *reinterpret_cast<double *>(&i) << ")\n"; 
} 

当我们运行这个，结果是这样的：

4547007122018943789  (0.0001) 
4607182418800017408  (1) 
4607632778762754458  (1.1) 
4611686018427387904  (2) 
4612136378390124954  (2.2) 
4613937818241073152  (3) 
4625478292286210048  (17) 
4638355772470722560  (123) 
4921056587992461136  (1e+21) 

正如你所看到的，即使我们整理它们为整数，浮点数，这些位也代表按正确的顺序出来。

这对浮点数有一定的限制。尽管所有（非古代）计算机都同意正数的表示形式，但有三种表示法（最近才用于有符号数字）：有符号数，补码和二进制补码。

只要将这些位视为一个整数并进行比较，就可以在使用整数的有符号幅度表示的计算机上正常工作。对于使用补码或补码的计算机，负数将按相反顺序排序。由于这仍然是一个简单的规则，所以编写适用于它的代码很容易。如果我们改变了sort调用上面是这样的：

std::sort(ivals.begin(), ivals.end(), 
    [](auto a, auto b) { if (a < 0.0 && b < 0.0) return b < a; return a < b; } 
); 

...这将然后正确的排序都正数和负数。例如，输入：

std::vector<double> vals = { 1e21, 1, 2.2, 2, 123, 1.1, 0.0001, 3, 17, -0.001, -0.00101, -1e22 }; 

会产生一个结果：

-4287162073302051438 (-1e+22) 
-4661071411077222194 (-0.00101) 
-4661117527937406468 (-0.001) 
4547007122018943789  (0.0001) 
4607182418800017408  (1) 
4607632778762754458  (1.1) 
4611686018427387904  (2) 
4612136378390124954  (2.2) 
4613937818241073152  (3) 
4625478292286210048  (17) 
4638355772470722560  (123) 
4921056587992461136  (1e+21) 

Answer 3

增加更多的细节上面的答案。

为了表示0,infinity和NaN（Not-a-Number）在浮点数，IEEE决定使用特殊的编码值。

• 如果指数字段的所有位均设置为0，则浮点数为0.0。

• 如果指数字段的所有位均设置为1，并且小数部分的所有位均为0，则浮点数为无穷大。

• 如果指数字段的所有比特被设置为1和小数部分的所有位不等于0，则该浮点数是NaN的。

因此，在单精度我们有8位来表示指数字段和有2个特殊值，所以我们基本上具有能够以指数来表示256 - 2 = 254值。因此，我们可以有效地代表-126到127的指数，即254个值（126 + 127 + 1），1增加了0.1