找到最小距离

Question

我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个最小化d0 + d1的点？曲线的半径和中心分别是（0,0）和'r'，点A和B的坐标是已知的。假设A =（x1，y1），B =（x1，-y1），r> sqrt（x1^2 + y1^2）。 C是应尽量减少长度D0 + D1 D0的圆的未知点 - 至C上的圆

点C沿圆移动圆 D1-到C B之间的距离A之间的距离。我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个最小化d0 + d1的点？

Answer 1

一般情况下是非常复杂的第一种情况，但特殊情况

A=(x1,y1)和B=(x1,-y1)和r > sqrt(x1^2+y1^2)

与圆，圆心起源具有足够的对称性，至少在某些情况下可以获得解决方案。我假设A ≠ B（等同于y1 ≠ 0），否则这个问题对于一个圆圈来说是微不足道的。

让dist(P,Q)为点P和Q之间的欧几里得距离。的（闭合）线段连接A和B是点P与

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B) 

轨迹对于D > dist(A,B)，点与

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D 

轨迹为椭圆形E(D)其焦点是A和B。让P成为圆上的一个点，并且D = f(P)。

• 如果在点P的切线与圆和椭圆E(D)不重合，P既不是局部最小值，也不是一个局部最大值的f限制于圆形。
• 如果切线重合，且圆的曲率大于P中的E(D)的曲率，那么P是局限于圆的局部最大值f。
• 如果切线重合，并且圆的曲率小于P中的E(D)的曲率，那么P是局限于圆的局部最小值f。
• 如果切线一致，并且该圆的曲率等于E(D)在P曲率，然后
  • P是f分离的局部最小值限制为圆如果dist(P,A) = dist(P,B)，
  • P既不是本地最大值或局部最小值f，否则限制在该圈内。

首先，如果x1 = 0，很容易看到（如果它不是几何上明显），该圆上的最小化f的点是与x坐标0，即P1 = (0,r)和P2 = (0,-r)的点。 [如果r² ≤ x1² + y1²，那甚至是对的。]

现在，假设x1 ≠ 0，不失一般性x1 > 0。那么很明显，最小化为f的圆上的点P = (x,y)必须具有x > x1。根据情况的对称性，点R = (r,0)必须是局部最小值或局限于圆的局部最大值f。

计算f附近R的行为，你会发现R是局部最小当且仅当

r ≥ (x1² + y1²)/x1 

由于R是E(f(R))最小曲率（和R到E(f(R))切线和点圆一致），那么R也是全球最小值。

如果是r < (x1² + y1²)/x1，那么R是局限于圆的局部最大值f。然后f在圆上有两个全局最小值，具有相同的x坐标。不幸的是，我没有一个很好的公式来计算它们，所以我不能提供比迭代搜索更好的方法。

Answer 2

如果直线AB与圆相交，那么C就是该交点（注意可以有两个交点并且两者的距离相等，都为d0+d1！）。

如果AB不相交的圆，则C是在圆相交从上线AB最接近圆中心的点的假想线的点。

有很多文章在网上如何找到另一点最接近的一条线的点，以及如何找到两条线之间的交叉点，这将解决第二种情况。因为你可以google“行圈交汇”