在Python中使用sympy可以解决一个PDE系统吗？

Question

假设有耦合PDE的一个系统，诸如

第一PDE在F（A，B）

第二PDE在F（A，B）

以下代码能够分别解决每个PDE：

import numpy as np 
import sympy as sp 

# definition of variables 
a, b = sp.symbols('a b') 
f = sp.Function('f') 
F = f(a, b) 
Fda = F.diff(a) 
Fdb = F.diff(b) 

# definition of PDEs 
eq1 = Fda - 2 
eq2 = Fda + Fdb + 2 

# solution of separated PDEs 
sp.pprint(sp.pdsolve(eq1)) 
sp.pprint(sp.pdsolve(eq2)) 

是否有可能解决PDEs系统？语法可能类似于sp.pprint(sp.pdsolve([eq1, eq2]))。我试过[eq1, eq2]，{eq1, eq2},np.array([eq1, eq2])等我看看help(sp.pdsolve)和help(sp.pde)，但还没有找到解决办法。

Answer 1

不，不执行偏微分方程组的解。究竟是执行：

1. 解决常系数一阶线性PDE：溶液的一般形式是已知的并且在解算器是硬编码;解算器返回给定系数。

2. 通过将变换系数转换为ODE（称为特征方法）来求解一阶线性PDE。只有一个PDE。

除了：我很怀疑在一般PDE的象征性的解决方案，以及系统更是如此。这不是一个在精心编写的教科书范例之外发生的事情。无论是教科书配方（对于教科书问题）还是隐藏的结构都要被人类的独创性（罕见）所揭示，或者没有找到象征性的解决方案。

Answer 2

由于您的系统是可分离的，因此可以使用dsolve来解决。但是，dsolve目前不喜欢像f(a, b)这样的东西，因此您需要手动解决切片。您还需要与功能手动替换常量：

>>> fa, fb = symbols('fa fb', cls=Function) 
>>> eq1 = fb(a).diff(a) - 2 
>>> eq2 = fb(a).diff(a) - fa(b).diff(b) + 2 
>>> dsolve(eq1, fb(a)) 
Eq(fb(a), C1 + 2*a) 
>>> fbsol = dsolve(eq1, fb(a)).subs(Symbol("C1"), Function("Ca")(b)) 
>>> fbsol 
Eq(fb(a), 2*a + Ca(b)) 
>>> eq2.subs(*fbsol.args).doit() 
Derivative(fa(b), b) + 4 
>>> fasol = dsolve(eq2.subs(*fbsol.args).doit(), fa(b)).subs(Symbol("C1"), Function("Cb")(a)) 
>>> fasol 
Eq(fa(b), -4*b + Cb(a)) 
>>> fbsol 
Eq(fb(a), 2*a + Ca(b)) 

从这里应该明确的是Cb(a) = 2*a + C和Ca(b) = -4*b + C，给予解决方案f(a, b) = 2*a - 4*b + C，您可以检查满足原。

这绝对是pdsolve应该能够自动完成的事情，但是目前还没有实现。