解决圆圈碰撞问题

Question

我正在编写扩展Circle-Rectangle collision detection (intersection)以包含对碰撞的响应的软件。圆形边和圆形矩形相当直接。但是圈子让我难倒了。

例如，在离散事件模拟中，让两个圆形碰撞，一个红色和一个绿色。我们可能有以下情况：

它们相撞后，我们立即可以有：

这里RIP和GIP是圆的，在之前的时钟滴答的位置。在当前的时钟周期，冲突在RDP和GDP检测到。然而，当两个圆圈位于RCP和GCP时，两个圆圈之间发生冲突。在时钟刻度上，红色圆圈向右移动RVy并向右移动RVx;绿色圆圈向下移动GVy，向左移动GVx。 RVy不等于GVy; RVx也不等于GVx。

相撞当圆中心间的距离小于或等于该圈子半径之和时，也就是，前面的图中，d < =（RR + GR）。在发生碰撞时，我们需要在调整圆的速度分量之前将DP定位回CP。在d ==（Rr + Gr）的情况下，由于DP位于CP，因此不需要重新定位。

这就是问题所在：我该如何回到CP？一些作者建议，在下图中用p给出的渗透的一半被应用。

对我来说，这是完全错误的。它假定两个圆的速度矢量相等，在这个例子中，情况并非如此。我认为渗透与计算有关，但是如何避开我。我知道这个问题可以改写为我们想要为Gcdy和GCdx解决的类似三角形的问题。

碰撞本身将被模拟成弹性，以及惯性交换数学已经到位。唯一的问题是将圆圈置于碰撞的位置。

Answer 1

如果您正在寻找关于圆形物体的非弹性碰撞的基本参考，Joe van den Heuvel和Miles Jackson的Pool Hall Lessons: Fast, Accurate Collision Detection Between Circles or Spheres很容易遵循。

从最不正式到最正式的，这里有一些关于实现编程的技巧的后续参考，支持您的问题的解决方案（碰撞响应）。

• 布赖恩·贝克曼&查尔斯·托雷The Physics in Games - Real-Time Simulation Explained
• 克里斯·赫克，Physics, Part 3: Collision Response，游戏开发商1997年
• 大卫Baraff，Physically Based Modeling: Principles and Practice，在线Siggraph大会'97课程笔记，特别重要的是幻灯片刚体模拟。

你将不得不接受一些近似 - 贝克曼的视频，即使是很简单的情况下，是不可能的分析预测会发生什么证明，这是更糟糕，因为你是模拟具有分立步骤的连续系统。

Answer 2

“这就是问题所在：我该如何做出这个举动。”

您很可能想知道如何“在调整圆的速度分量之前将DP定位回CP”。

因此，如何确定CP（发生碰撞的位置）以及如何调整从该点开始的圆圈运动有两个问题。第一部分有一个相当简单的解决方案（允许不同的半径和速度分量），但第二部分取决于弹性或非弹性响应是否建模。在你写的评论中：

碰撞将被建模为弹性。用于交换惯性的数学计算已经就绪。问题是在哪里定位圈子。

鉴于我只想解决第一个问题，解决碰撞发生的确切位置。假定两个圆的均匀运动，知道发生碰撞的确切时间就足够了，即圆的中心之间的距离等于它们的半径的总和。

通过匀速运动，可以通过从另一个圆圈（绿色）减去一个圆圈（红色）的速度，将一个圆圈（红色）视为静止。实际上，我们将第一个圆的中心视为固定，并且只考虑第二个圆进入（均匀）运动。

现在通过求解一个二次方程得到确切的碰撞时间。假设V =（GVx-RVx，GVy-RVy）是圆的相对运动，并且令P =（GIPx-RIPx，GIPy-RIPy）在碰撞之前的“瞬时”中它们的相对位置。我们通过定义“动画”为相对位置P的直线路径：

P（T）= P + T * V

，并要求当该直线相交周围半径RR +的Gr的原点的圆，则不执行时：

（PX + T * Vx的）^ 2 +（PY + T * VY）^ 2 =（RR + GR）^ 2

这是未知的时间t的二次方程，所有其他数量都是已知的。情况是这样的（碰撞发生在位置CP之前或之前）会出现一个积极的实际解决方案（通常有两个解决方案，一个在CP之前，另一个在后，但可能是放牧接触给出“双根”）。你想要的解决方案（根）是较早的解决方案，其中t（在“即时”RIP，GIP位置处为零）较小。

Answer 3

给定初始位置和速度矢量，实际上可以得到达到碰撞所需时间的表达式。

打电话给你的对象A和B，并说他们有位置向量一个和b和速度矢量ü分别和v。比方说，以每时间步ü单元的速率A移动（因此，在时间= t时，A是在一个;在时间= t + 1的，A是在一个 + Ú）。

我不确定是否要查看派生;它看起来不那么好......我对LaTeX的了解相当有限。 （如果你确实需要我，我可以在以后编辑它）。不过，现在，使用泛型C＃-ish语法，使用声明Vector2（X，Y）的Vector2类型，并且具有向量加法，标量乘法，点乘积和长度的函数。

double timeToCollision(Vector2 a, Vector2 b, Vector2 u, Vector2 v) 
{ 
    // w is the vector connecting their centers; 
    // z is normal to w and equal in length. 
    Vector2 w = b - a; 
    Vector2 z = new Vector2(-1 * w.Y, w.X); 
    Vector2 s = u - v; 
    // Dot() represents the dot product. 
    double m = Dot(z, s)/Dot(w, s); 

    double t = w.Length()/Dot(w, s) * 
       (w.Length() - sqrt(((2 * r)^2) * (1 + m^2) - (m * w.Length())^2))/
       (1 + m * m) 

    return t; 
} 

至于回应碰撞：如果您可以快进到碰撞点，您不必担心处理相交的圆。

如果您有兴趣，当不会是碰撞时，此表达式会给出一些很酷的结果。如果两个物体彼此远离，但是如果它们的速度被颠倒过来就会发生碰撞，你会得到t的负值。如果物体在不平行的路径上，但永远不会相遇（相互传递），则在平方根内会得到负值。抛弃平方根项，你会得到最接近的时间。如果它们以相同的速度平行移动，则分母中的值为零，而t的值为未定义的值。

那么，希望这是有帮助的！我遇到了和你一样的问题，并决定看看我是否可以在纸上写出来。

编辑：我应该更仔细地发布这个...公式的混乱之前阅读以前的答复上面确实是解决这一hardmath描述的二次方程。道歉的冗余职位。

Answer 4

要重新定位两个重叠的圆以恒定的速度，您需要做的就是找出碰撞发生的时间，并将它们的速度因子添加到它们的位置。

首先，我们将考虑一个半径与相对位置和速度相结合的圆，而不是两个圆的移动。让输入圆的位置为P1和P2，速度为V1和V2，半径为r1和r2。让组合圆的位置为P = P2 - P1，速度为V = V2 - V1，半径为r = r1 + r2。

我们必须找到在该圆穿过原点，换句话说发现t为其r = |P + tV|值的时间。应该有0,1或2个值，具体取决于圆不通过原点，飞行与其相切，还是飞过它。

r^2 = ||P + tV||通过平方双方。

r^2 = (P + tV)*(P + tV) = t^2 V*V + 2tP*V + P*P使用L2范数相当于向量与其自身的点积，然后分布点积的事实。

t^2 V*V + 2tP*V + P*P - r^2 = 0把它变成一个二次方程。

如果没有解决方案，则判别式b^2 - 4ac将为负数。如果它为零或正数，那么我们对第一个解决方案感兴趣，因此我们将减去该判别式。

a = V*V 
b = 2 P*V 
c = P*P - r^2 
t = (-b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) 

因此t是碰撞时间。