矩阵指数与python中的给定矢量的乘积

Question

我有兴趣计算给定稀疏矩阵H的矩阵指数，然后将其与给定矢量v相乘。由于矩阵H的大小变为90.000的数量级，因此明确计算它，然后乘以v变得困难（它花费大量时间）。问题的关键是，我要计算状态v，其中H是哈密顿，对于给定的时间的时间演化：

U = exp(-i*H*t) 

其中i是虚数单位和t是时间。然后我想在矢量v为了获得这种状态v

在另一只手的进化乘这个矩阵U，我发现了以下库在python：

scipy.sparse.linalg.expm_multiply 

这样：

scipy.sparse.linalg.expm_multiply(-(1j)*t*H,v) 

它来自https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.16.1/reference/generated/scipy.sparse.linalg.expm_multiply.html。有了这个，我可以非常有效地计算，只有很短的时间。在很高的时间t它花了很多时间，我不知道为什么...

任何想法为什么会发生？如何解决？

我的目标是做一个表的多个时间点及其各自的发展状态

Answer 1

你应该先对角化H，然后代表此基础上（量子力学的能量基础）诉。用这种形式表达v会使你很容易计算出后续的时间演变。

设e_i是H的本征向量由于H是哈密顿它是厄米特，因此任何矢量v，有一个完整的和独特的描述如在能量基础的线性叠加：

v = SUM(v_i * e_i) 

与v_i唯一常量。然后可以计算进化状态任意t为时间：

v(t) = SUM(exp(-i*t*lambda_i) * v_i *e _i) 

其中lambda_i是本征值H * e_i = lambda_i * e_i。由于这只是一堆标量乘法和总和，因此计算效率很高。

主要的减速将是对角化H，其在算法上的阶数为O（N^3）（对于N×N矩阵）。

对于小t，exp（-itH）约为1 - itH（你可以从泰勒展开中看到这一点），所以当然这会很快。

上面是，恐怕，几乎一样快，因为它会得到（除非系统有一些额外的特殊属性）。量子力学的模拟有一些非常现实的困难，并且是量子计算机的目的; P。