在3D中放置3个多边形

Question

给定3个多边形，这些多边形全部被定义为平坦的（当从侧面看时，它们没有与其余部分不一致的点，因此基本上它们是3D空间中的2D形状），由4点，凸和附加信息，每个聚合附加到其他两个在每个正好两个点...

从这些多边形“铺平”开始，即：它们的值都位于x，y飞机和所有的Z值为0 ...

...我怎么能解决如何定位这些多边形在三维空间，使他们连接在他们的连接点？

Answer 1

标注多边形A，B，C。选择A，使B和C在折叠之前已经与它共享一条边，并在整个转换过程中将其视为保留在X-Y平面中。

在折叠之前，要么是所有三个多边形都连接到一个点，要么没有（在这种情况下折叠后的结果形状包含穿过它的孔）。

在前一种情况下，考虑点（d）。折叠后，连接到其上的一条边将由B和C共享。设e是B上与d共享边但不碰A的点。对于C同样f。在折叠后，e和f是相同的点。考虑通过围绕由A和B共享的边缘旋转e所描述的圆，并且类似地针对由A和C共享的边缘的f。这些圆恰好在两个点（在X-Y平面之上一个和一个）之间相交。写出圆方程，求解并任意选择两个解中的一个。现在您已经知道B和C围绕与A共享的边缘旋转的角度，而网格的其余部分完全受到限制。

在后一种情况下，找到A的边缘，使一端连接到B，另一端连接到C.与之前一样，考虑B和C上与这些点共享边但不与A旋转的点A的边缘并求解相交。

绘制图表;它有助于。

Answer 2

我打算假设你想让所有多边形在一个点上相遇。这里是你如何做三角形的问题（它可以很容易地适应四边形）。

让我们假设在2D世界中，您的三角形已经排列成使得两个相应的边彼此相邻，并且三角形的公共点是原点。换句话说，让O为原点，我们有点A，B，C，D，以便我们的三个三角形是AOB，BOC和COD。 （你总是可以应用一些转换来达到这种情况。）现在，通过“折叠”三角形，将OA与OD对齐（这些被假定为具有相同的长度）。*以下是伪代码中的操作：

assert(length(OA) == length(OD)) 
let L_A = line through A perpendicular to OB 
let L_D = line through D perpendicular to OC 
let E = intersection of L_A and L_D 
let z = sqrt(length(OA) * length(OA) - length(OE) * length(OE)) 

let O' = (0, 0, 0), B' = (B.x, B.y, 0), C' = (C.x, C.y, 0) 
let A' = (E.x, E.y, z) 

然后，A'O'B'对应于AOB，B'O'C'对应于BmOC，和C'O'A'对应于COD。

*注意：只有角度AOB，BOC和COD总和小于360时才可以。