将顶点变换为顶点着色器中的视图空间

Question

当我们要在顶点着色器中计算光时，我们需要视图空间中的法向量。一般来说，它看起来如下（从OpenGL Superbible 5th开始）：

// normalMatrix is retrieved from GLMatrixStack modelViewMatrix 
vec3 vEyeNormal = normalMatrix * vNormal 

我想在不使用GLT库的情况下编写程序。在另一个源（http://en.wikibooks.org/wiki/GLSL_Programming/GLUT/Diffuse_Reflection）我发现下面的公式：

vec3 normalDirection = normalize(m_3x3_inv_transp * v_normal); 

可变m_3x3_inv_transp计算如下：

glm::mat3 m_3x3_inv_transp = glm::transpose(glm::inverse(glm::mat3(mesh.object2world))); 

我意识到：

• 普通矩阵是仅旋转分量因为 法向量的翻译是不可接受的。
• 秩序的OpenGL操作是Scalng，平移，旋转 （Opengl order of matrix transformations）
• 反演矩阵是撤消上次的变换 （http://tomdalling.com/blog/modern-opengl/04-cameras-vectors-and-input/）

我的问题是，为什么反演和transponsing矩阵后，我得到NormalMatrix以及如何检查它与逆向计算？基于对3D游戏编程和计算机图形（由埃里克·伦盖尔）数学第66页

Answer 1

你的假设并不完全正确。

OpenGL操作顺序是Scalng，翻译，旋转。

不，一般来说，你可以有一个任意的世界矩阵。这可以包括任何数量的操作。

逆矩阵是撤消上次变换。

否。如果反转矩阵，则会恢复其整个效果。例如。如果您有一个矩阵围绕x轴旋转45°并且由（1,2,3）进行平移，则其反转将导致（-1，-2，-3）平移，接下来是 - 围绕x轴45°。

正常矩阵只是模型视图矩阵的旋转分量。

不是。如果是这种情况，那么您可以放弃矩阵的翻译（以及任何视角）部分。但事实并非如此。

正常矩阵用于转换法线，以便它们仍然与相应的曲面正交。对于刚体转换（即旋转和平移），您可以直接使用世界变换。其中一个原因是你可以通过转置旋转矩阵来反转（因为它是正交的）。然后你有transpose(transpose(world))这是原始矩阵。

对于一般矩阵，您必须按照您所述计算矩阵。想象一下按（1，2）进行缩放。如果你转换一个圆圈，它将变成一个椭圆。我们来看看45°的正常值。在这个位置的圆的正常值是（1,1）（未标准化）。如果我们用标度矩阵转换这个法线，我们可以得到（1，2）。如果你想象转换后的椭圆，你会发现法线不再与表面正交。所以你必须使用一个不同的变换（在这种情况下，按（1，0.5）进行缩放），这保留了正交性。

Answer 2

答：

切线T和正常N在表面上的特定点必须是垂直的，所以：

N . T = 0 

假设我们使用矩阵M转换表面。在转化上的点的切线是：

T' = MT 

我们希望找到一个矩阵G这样N' = GN是在转化表面上的点的法线。由于正常的和切线在转化上的点仍然必须是垂直的，我们有：

0 = N' . T' = (GN) . (MT) = trans(GN) * MT = trans(N) * trans(G) * MT 

现在：

trans(N) * T = N . T = 0 

所以上面会满意，如果：

trans(G) * M = I 

哪里：

G = trans(inv(M)) 

换句话说，转换法线所需的矩阵是用于转换切线的矩阵的逆矩阵的转置。