类型和箭头之间的类型类是否有意义？

Question

通常你有类似Applicative而没有pure，或类似Monad，但没有return。 semigroupoid包裹涵盖这些案件与Apply和Bind。现在我处于类似的情况，涉及Arrow，我无法定义一个有意义的arr函数，但我认为其他函数会非常有意义。

我定义保存函数类型和它的反向功能：

import Control.Category 

data Rev a b = Rev (a -> b) (b -> a) 

reverse (Rev f g) = Rev g f 
apply (Rev f _) x = f x 
applyReverse (Rev _ g) y = g y 
compose (Rev f f') (Rev g g') = Rev ((Prelude..) f g) ((Prelude..) g' f') 

instance Category Rev where 
    id = Rev Prelude.id Prelude.id 
    (.) x y = compose x y 

现在我无法实现Arrow，但一些较弱：

--"Ow" is an "Arrow" without "arr" 
class Category a => Ow a where 
    first :: a b c -> a (b,d) (c,d) 
    first f = stars f Control.Category.id 

    second :: a b c -> a (d,b) (d,c) 
    second f = stars Control.Category.id f 

    --same as (***) 
    stars :: a b c -> a b' c' -> a (b,b') (c,c') 

... 
import Control.Arrow 

instance Ow Rev where 
    stars (Rev f f') (Rev g g') = Rev (f *** g) (f' *** g') 

我想我无法实现相当于&&&，因为它被定义为f &&& g = arr (\b -> (b,b)) >>> f *** g，而(\b -> (b,b))是不可逆的。不过，你认为这个较弱的类型可能有用吗？从理论的角度来看，它甚至是有意义的吗？

Answer 1

这种方法进行了探讨在“有然后再返回：箭可逆编程”：http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.153.9383

对于正是你正在运行到的原因，这竟然是没有捡到个不错的办法更广泛。最近，Tillmann Rendel提出了一种令人愉快的方法来替代biarrows的部分同构（http://www.informatik.uni-marburg.de/~rendel/rendel10invertible.pdf）。这已被封装在人们使用和玩玩：http://hackage.haskell.org/package/invertible-syntax

这就是说，我认为一个箭头没有arr作出一定的含义。我只是不认为这样的事情是捕捉可逆函数的适当工具。

编辑：还有Adam Megacz的广义箭头（http://www.cs.berkeley.edu/~megacz/garrows/）。这些对于可逆编程来说可能没有用（尽管基本的类型类似似乎是无足轻重的），但是它们确实在其他情况下使用，其他情况下arr太强，但其他箭头操作可能是有意义的。

Answer 2

从类别理论的角度来看，Category类型类描述了任何类别，其箭头可以通过类型构造函数直接在Haskell中描述。如果您可以使用全部函数来实现它，则几乎所有您希望在其之上构建的附加功能（以新的原始箭头或箭头构建函数的形式）在某种程度上都会有意义。唯一需要注意的是，增加表达能力可以打破其他要求，如arr经常发生的那样。

可逆函数的具体示例描述了一个类别，其中所有箭头都是同构的。在令人震惊的扭曲中，爱德华·凯米特已经在Hackage上拥有an implementation of this。

arr函数大致相当于从Haskell函数到Arrow实例的函子（在类别理论意义上），使对象保持相同（即类型参数）。从Arrow简单地删除arr给你...别的东西，这可能不是非常有用的自己，没有至少增加等值的arr fst和arr snd作为原语。

我认为，加入原语fst和snd，与(&&&)一起从两个输入端建立一个新的方向，应该给你products一类，这是从理论角度来看绝对明智的，以及不被与您使用的可逆箭头兼容，因为您找到的原因。