如何求解Sympy中的非线性方程？

Question

如何解决SymPy非线性方程，它的形式是

y = P*x + Q + sqrt(S*x + T) 

的，我知道y(0)，y'(0)，y(c)，y'(c)。我想找到P,Q,S和T。并且代表y作为x的函数。

我对文档变得非常困惑。请帮忙。

Answer 1

注意：我的sympy吊死你原来的方程y = P*x + Q + sqrt(S*x + T)。 我将使用y = P*x + Q + x*x*(S*x + T)只是为了能够展示sympy求解器如何工作（当它工作时）。

策略：

• 快递Y作为其他变量（x，P，Q，S，T）
• 微分ý
• 使用已知的常数设置4个方程的函数（0，C，Y（0），Y（c）中，Y '（0），Y'（c））的
• 使用sympy解决
• 打印每一个可能的解决方案（如果有的话）

代码：

# Set up variables and equations 
x, y, P, Q, S, T, = sympy.symbols('x y P Q S T') 
c, y_0, y_c, dy_0, dy_c = sympy.symbols('c y_0 y_c dy_0 dy_c') 
eq_y = P * x + Q + x * x * (S * x + T) 
eq_dy = eq_y.diff(x) 

# Set up simultaneous equations that sympy will solve 
equations = [ 
    (y_0 - eq_y).subs(x, 0), 
    (dy_0 - eq_dy).subs(x, 0), 
    (y_c - eq_y).subs(x, c), 
    (dy_c - eq_dy).subs(x, c) 
] 

# Solve it for P, Q, S and T 
solution_set = sympy.solve(equations, P, Q, S, T, set = True) 

# Extract names, individual solutions and print everything 
names = solution_set[0] 
solutions = list(solution_set[1]) 
for k in range(len(solutions)): 
    print('Solution #%d' % (k+1)) 
    for k2, name in enumerate(names): 
     print('\t%s: %s' % (name, solutions[k][k2])) 

输出：

Solution #1 
    P: dy_0 
    Q: y_0 
    S: (c*(dy_0 + dy_c) + 2*y_0 - 2*y_c)/c**3 
    T: (-c*(2*dy_0 + dy_c) - 3*y_0 + 3*y_c)/c**2 

现在，您可以使用这些解决方案之一，做一套.subs(...)得到y的功能纯粹是由您的常量和x。

至于你的原方程...我不知道是否有人应立案sympy一个bug报告，以便他们可以在其提高... :)

Answer 2

眼下求解器在解决其方程的系统中的一些问题更多sqrt。因此，在下面的代码中，首先删除sqrt，然后求解方程组。目前求解器对于这些类型的方程式来说速度并不快，执行时间大约需要10秒。

P, Q, S, T, = symbols('P Q S T') 
c, y_0, y_c, dy_0, dy_c = symbols('c y_0 y_c dy_0 dy_c') 
eq_y = (P*x + Q - y(x))**2 + S*x + T 
eq_dy = eq_y.diff(x) 
equations = [ 
    (eq_y).subs([(x, 0), (y(0), y_0), (y(x).diff(x).subs(x, 0), dy_0)]), 
    (eq_dy).subs([(x, 0), (y(0), y_0), (y(x).diff(x).subs(x, 0), dy_0)]), 
    (eq_y).subs([(x, c), (y(c), y_c), (y(x).diff(x).subs(x, c), dy_c)]), 
    (eq_dy).subs([(x, c), (y(c), y_c), (y(x).diff(x).subs(x, c), dy_c)]) 
] 
solve(equations, P, Q, S, T) 

答：

[(-(y_0 - y_c)/c, y_0, 0, 0), ((2*c*dy_0*dy_c + dy_0*y_0 - dy_0*y_c + dy_c*y_0 - dy_c*y_c)/(c*dy_0 + c*dy_c + 2*y_0 - 2*y_c), -(2*c**3*dy_0*dy_c**2 - c**2*dy_0**2*y_0 + 2*c**2*dy_0*dy_c*y_0 - 4*c**2*dy_0*dy_c*y_c + c**2*dy_c**2*y_0 - 2*c**2*dy_c**2*y_c - 2*c*dy_0*y_0**2 + 2*c*dy_0*y_c**2 - 4*c*dy_c*y_0*y_c + 4*c*dy_c*y_c**2 - 2*y_0**3 + 2*y_0**2*y_c + 2*y_0*y_c**2 - 2*y_c**3)/(c*dy_0 + c*dy_c + 2*y_0 - 2*y_c)**2, -4*(dy_0 - dy_c)*(c*dy_0 + y_0 - y_c)**2*(c*dy_c + y_0 - y_c)**2/(c*dy_0 + c*dy_c + 2*y_0 - 2*y_c)**3, -4*(c*dy_0 + y_0 - y_c)**2*(c*dy_c + y_0 - y_c)**4/(c*dy_0 + c*dy_c + 2*y_0 - 2*y_c)**4)] 

请交叉检查答案。