Matlab中多边形的双重集成

Question

我给出了一个函数@f（x，y），我想在MATLAB中通过一个特定的凸多边形评估这个函数的积分。多边形不一定是矩形，这就是为什么我不能使用MATLAB的函数“dblquad”。我有的多边形是由向量X和Y表示的一组顶点给出的，即顶点是（X（1），Y（1）），...，（X（n），Y（n） ）。有什么功能或方法可以使用吗？

Answer 1

诀窍是使用工具集成在感兴趣的区域内。我已经写了一些用于在三角域中进行集成的工具。

% Define a function to integrate. 
% This function takes an nx2 array, where each row 
% contains a single point to evaluate the kernel at. 
% This computes x^2 + y^2 at each point. 
fun = @(xy) sum(xy.^2,2); 

% define the domain as a triangulated polygon 
% this tool uses ear clipping to do so. 
sc = poly2tri([1 4 3 1],[1 3 5 4]); 

% Gauss-Legendre integration over the 2-d domain 
[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,2) 
integ = 
     113.166666666667 
fev = 
    8 

% the triangulated polygon... 
plotsc(sc,'facecolor','none','markerfacecolor','r') 
axis equal 
grid on 

我们可以可视化的功能本身，作为映射Z（X，Y）在该多边形的结构域。当提供范围字段时，单纯形复合体变成2-d（x，y）域的2-1映射。

sc2 = refinesc(sc,'max',.5); 
sc2.range = fun(sc2.domain); 
plotsc(sc2,'markerfacecolor','r') 
grid on 
view(17,12) 

这是在感兴趣的领域简单的多项式函数，所以默认低位高斯积分是适当的。所使用的方案是Gauss-Legendre方法，其形式为三角形上的张量积形式，并非真正的最优，而是可行的。高斯积分的问题是不适应的。它基于有限点集上的多项式的隐式近似来计算估计。

上述估计使用了8个函数验证来计算该估计。由于内核是一个低阶多项式，它应该完美。问题是，你需要知道这是否是一个正确的解决方案。这是高斯积分的问题，除了用更高阶的方案解决问题直到看起来收敛之外，没有简单的方法来知道答案是否正确。

在重心处看到每个三角形有1个点，我们得到了错误的答案，但更高阶的估计都是一致的。

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,1) 
integ = 
     107.777777777778 
fev = 
    2 

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,3) 
integ = 
     113.166666666667 

fev = 
    18 

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,4) 
integ = 
     113.166666666667 
fev = 
    32 

写quadgsc后，我不得不尝试的自适应解算器，在以同样的方式与其他四工具MATLAB做的工作。这会对三角测量进行自适应细化，寻找解决方案不稳定的三角形。问题是，我从来没有写完这些工具让我满意。对于三角域中的立方体问题，可以采用许多不同的方法。 quadrsc做一个低阶解决方案，然后细化它，使用Richardson外推法，然后比较结果。对于差别太大的任何三角形，它会进一步细化直到它收敛。

例如，

[integ,fev]= quadrsc(fun,sc) 
integ = 
      113.166666666667 

fev = 
    16 

所以此工程。这个问题出现在更复杂的内核上，问题变成知道何时停止细化，并且在使用过多的函数评估之前这样做。我从未完全满意地工作，所以我从未发布过这些工具。我可以将工具箱发送给那些直接寄给我的人。该zip文件约为2.4 MB。有一天，我会绕过去完成这些工具，我希望...