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我必须执行其具有如下形式的ODE系统的数值求解：数值稳定性
du_j/dt = f_1(u_j, v_j, t) + g_1(t)v_(j-1) + h_1(t)v_(j+1),
dv_j/dt = f_2(u_j, v_j, t) + g_2(t)u_(j-1) + h_2(t)u_(j+1),
其中u_j(t)和v_j(t)是复值的时间t标量函数，f_i和g_i是给定函数和j = -N,..N。这是一个初始值问题，任务是在特定时间T找到解决方案。
如果g_i(t) = h_i(t) = 0，那么可以独立求解不同值j的方程。在这种情况下，借助四阶Runge-Kutta方法获得稳定和精确的解。但是，一旦打开联轴器，就时间网格步骤和函数的明确形式而言，结果变得非常不稳定，其形式为g_i,。
我认为尝试使用隐式Runge-Kutta方案是合理的，这种方法在这种情况下可能是稳定的，但如果我这样做，我将不得不评估一个大小为4*N*c的矩阵的逆，其中c取决于该方法的顺序（例如用于高斯 - 勒让德方法的c = 3）。当然，矩阵将大部分包含零并且具有块三对角形式，但它似乎仍然非常耗时。
所以我有两个问题：
有其工作的稳定明确的方法即使是在连接功能
g_i和是（非常）大？如果一个隐式方法确实是一个好的解决方案，块三对角矩阵反演的最快方法是什么？目前我只是执行简单的高斯方法，避免了由于矩阵的特定结构而产生的冗余操作。
附加信息和细节，可以帮助我们：
我使用的Fortran 95
我目前考虑
g_1(t) = h_1(t) = g_2(t) = h_2(t) = -iAF(t)sin(omega*t)，其中i是虚数单位，A和omega给出常数和F(t)是一个光滑的包络，它首先从0到1，然后是从1到0，因此F(0) = F(T) = 0。最初
u_j = v_j = 0除非j = 0。对于所有t而言，绝对值为j的函数u_j和v_j对于所有的t来说都是非常小的，所以初始峰值没有达到“边界”。