为什么2D点用{x，y，1}矩阵和用{x，y，0}矩阵表示的2D矢量表示？

Question

我无法理解这个概念。点和矢量之间的区别是什么，第三位需要1个点，第三个位置需要0个矢量？

Answer 1

形式（x，y，1）表示homogeneous coordinates中的一个点。这就允许一个点只需通过乘以一个变换矩阵就可以进行旋转和平移。对于3D，这对计算机图形非常重要。 将向量表示为（x，y，0）的一个原因是添加到某个点的向量必须给出一个点，或者等价地，两个点之间的差值是一个向量。您可以通过搜索“齐次坐标”来查找大量资源，例如this one from MIT

Answer 2

对于齐次坐标，大小并不重要。下面的值表示相同点

{ x, y, 1 } 
{ 2x, 2y, 2 } 

从{a, b, c}获取坐标你做

(x,y) = (a/c, b/c)。

现在来表示一个方向，您使用一个退化点（与c=0），使它没有x,y坐标。

要想从{a, b, 0}方向矢量你正常化的载体与

(ux,uy) = (a/√(a^2+b^2), b/√(a^2+b^2))

所以按照惯例，当同质标c是非零值代表坐标，当c为零它们代表方向。

此约定有助于限定点沿着一条线，给定线原点r={rx,ry,1}并沿着距离t的点的一个单位方向u={ux,uy,0}是

q = r + u*t = (rx,ry,1) + (ux,uy,0)*t = (rx+ux*t, ry+uy*t, 1) 

具有坐标(qx,qy) = (rx+ux*t, ry+uy*t)。现在，如果矢量在第3个坐标中有一个值，则不会正确计算点q。

_注：这适用于2D以及用于3D（带有4个值）。