矩阵的逆的行列式

Question

如何使用Cholesky分解来计算矩阵的逆的行列式。我发现，直接计算矩阵的行列式并不是一个好主意。所以任何人都可以提供一些见解

Answer 1

如果已经有Cholesky分解（A = L * L_t），那么你就必须

det(A) = det(L) * det(L_t) = sqr(det(L)) 

L矩阵是下三角所以其行列式是对角元素的乘积。 Cholesky分解需要O（n^3）运算，L的对角元素的乘积只有O（n）。高斯消除法（将A转换成三角矩阵）将花费O（n^3），并且会遭受可能的数值问题。

最后，det（inv（A））= 1/det（A）。

Answer 2

det(A) = product(eigenvalues(A)) = product(diagonal(choleskyFactorization(A)))^2

例如，为了计算矩阵A的行列式在Matlab /倍频程可以使用prod(diag(chol(A)))^2，其是在Matlab语法上述公式的右手侧。