使用预定的特征值计算lapack中的特征向量？

Question

我对lapack有一个相当不寻常的挑战，我花了数小时寻找解决方案。

我有一个传统形式（A - x B = 0）的广义特征值问题。通常我会使用例如hegvx或hegvd来计算特征值和特征向量。

但是我现在面临的挑战是，现在我已经知道问题构造的特征值，因此我只需要一个有效的程序来计算特征向量？

任何人都有这个黑客？

Answer 1

鉴于广义本征值问题

（A - Y B）x = 0时

和特征值炔：

（A - Ÿ_Ñ B）X _Ñ = 0

我们知道A，B和YN，所以我们可以形成一个新的矩阵道道

C^_Ñ = A - ý_Ñ乙

Ç_Ñ X _Ñ = 0

可以用任何线性代数求解器分别为每个特征值解决这个问题。按照LAPACK docs on linear equations，对于一般的矩阵，双精度，你可以使用DGETRS

编辑简并征值：

矩阵的零空间道道就是我们解决了这里（如MVG评论）。如果

Ç_Ñ J = 0和
Ç_Ñ K = 0

（即简并的e-瓦尔斯）然后给予Ĵ^Ť K = 0（均仍是AB的特征向量系统），我们可以说

呼叫的ç_ñ一个行r：

RK = RK - J ^牛逼 .k =（r-j ^T）。ķ

从而形成了矩阵Ĵ，它的行各自是Ĵ^Ť（必须有这样的名称，但不知道它）：

（C _Ñ - J）K = 0

定义

d _NJ = C _ñ - J

现在解决为新矩阵D _nj。通过构造，这将是具有相同退化特征值的原始矩阵的新的正交特征向量。