如何内插两个不规则数据集之间的点？

Question

我很抱歉有些令人困惑的标题，但我不确定如何总结这个更清晰。

我有两组X，Y数据，每组对应一个总的总体值。他们从原始数据中进行相当密集的抽样。我正在寻找的是一种为任何给定的Y找到插值X的方法，以获得我已拥有的集合之间的值。

图表使这更清楚：

在这种情况下，红色线是从对应于100的一组，黄线是从对应于50

一组我想能够说，假设这些集合对应于值的梯度（尽管它们明显由离散的X，Y测量值组成），那么我如何找到，比如说，如果Y为500对于一个相当于75的值的集合？

在这里的例子我希望我所希望的点是什么地方在这里：

我不需要这个功能过于花哨 - 它可以是数据点的简单线性插值。我只是无法思考。

请注意，两组的X和Y都没有完全重叠。然而，“这些集合最接近的X点在哪里”或“这些集合共享的最接近的Y点在哪里”的说法相当简单。我已经在已知值之间使用了简单的插值（例如找到设置为“50”和“100”的相应Ys的X值，然后平均值得到“75”），最后我看到类似这样的东西：

所以很明显，我在这里做了什么。很明显，在这种情况下，对于Y高于“最低”集合的最大值Y的所有情况，X（正确）返回0。事情从一开始就很好，但是当某个人开始接近最低值Y时，它开始出现故障。

很容易明白为什么我的错误。这里是另一种方式来看待这个问题：

在“正确”的版本，X应该是约250相反，我在做什么基本上是平均400和0，X是200。在这种情况下我如何解决X？我认为双线性插值可能会有答案，但是我一直没能找到答案，这就清楚地说明了我将如何去做这类事情，因为它们似乎都是针对不同的问题构建的。

谢谢您的帮助。请注意，尽管我已经明确地绘制了R中的上述数据，以便轻松查看我在说什么，但最终的工作是使用Javascript和PHP。我不是在寻找一些重任;简单就好。

Answer 1

好主人，我终于明白了。下面是最终的结果：

美丽！但是，它是多么多的工作。

我的代码太拙劣，对我的项目来说太具体以至于没有太多用处。但这是底层的逻辑。

您必须有两组数据才能从中插入。我称这些为“外部”曲线和“内部”曲线。假定“外”曲线完全包含并且不与“内”曲线相交。曲线实际上只是X，Y数据的集合，并对应于一组定义为Z的值。在此处使用的示例中，“外部”曲线对应于Z = 50，“内部”曲线对应于Z = 100

重申的目标是为任何给定的Y找到X，其中Z是我们已知的数据点之间的某个数。

1. 首先计算未知Z表示的两组曲线之间的百分比。所以如果在我们的例子中Z = 75，那么结果为0.5。如果Z = 60，那将是0.2。如果Z = 90那么那将是0.8。称此比例P.

2. 在“外”曲线上选择数据点，其中Y =您想要的Y.想象一下该点与0,0之间的线段。将其定义为AB。

3. 我们想找到AB与“内”曲线相交的地方。为此，我们遍历内部曲线上的每个点。将所选点与点+1之间的线段定义为CD。检查AB和CD是否相交。如果没有，继续迭代直到他们做。

4. 当我们找到一个AB-CD交点时，我们现在看看交点和我们原点在步骤2的“外”曲线上创建的线。然后，该线段是内部和外部曲线，其中该线的斜率将在图表中“向下”延续，将与0,0相交。将此新线段定义为EF。

5. 找到EF长度的百分比（来自步骤1）的位置。检查Y值。这是我们期望的Y值吗？如果是（不太可能），则返回该点的X.如果不是，请查看Y是否小于目标Y.如果是，则将该点的位置存储在一个变量中，我将该变量设置为lowY。然后再次返回步骤2查找外曲线上的下一个点。如果它是大于目标Y，请查看lowY是否有值。如果是的话，这两个值之间的插值，并返回插值X.（我们已经“在盒子里”我们所期望的坐标，换句话说。）

上述程序工作得很好。它在Y = 0的情况下失败，但很容易做到这一点，因为你可以对这两个特定点进行插值。在样本数量少得多的地方，它会产生一些棘手的结果，但我想这是可以预期的（这些是Z = 5000,6000,7000,8000,9000,10000，其中只有5000和10000是已知点他们有各自只有20个数据点 - 插值的其余部分）：

我下毫不做作，这是一个优化的解决方案，但求解点的采空区实际上是瞬时的我的电脑上，所以我承担对于现代化的机器来说，这不是太重要，至少是我拥有的总点数（每条曲线30-50）。

感谢大家的帮忙;它通过一点点说明了这一点，并且意识到我在这里所做的并不是简单的线性插值，而是沿曲线的一种“径向”插值。