查找矢量在二十面体或其展开表面上的投影

Question

考虑一个以坐标原点为中心的球体和一个内接二十面体，其方向为两个最远的顶点位于Z坐标轴上，另一个从任何顶点出现的边缘都位于XZ平面中。

考虑一个给定的矢量x起源于球的中心。由该矢量给出的方向在某个点刺穿二十面体的表面。

是否有一种优雅的方式来找到穿孔的面（考虑到所有方面都列举出来），然后找到这个面上的穿孔点？需要执行此任务将穿透点投影到平坦的未折叠（未包裹）的二十面体表面。

Answer 1

此解决方案特定于您的应用程序，其中矢量从原点发出，并且二十面体以原点为中心。

使用十二面体的12个顶点定义20个三角形。当从二十面体外观察时，订购3以便它们按照逆时针顺序排列。因此，对于每个三角形，您将拥有3个顶点的列表。对于每一个三角形构造一个3x3矩阵，其中列是三角形的verticies：

 
    [ x1 x2 x3 ] 
T = [ y1 y2 y3 ] 
    [ z1 z2 z3 ] 

你需要这个矩阵的逆（SO搜索或谷歌在您所选择的语言快速3x3的倒数） 。 现在对于每个矢量，你想乘以所有20个matricies。因此，对于每个三角形计算：（？负）

B = V * T（逆）

如果B的所有3个元素为正，这是相交三角形。

接下来，标准化B - 将其除以其长度以使其具有单位长度。这将使B成为该三角形上交点的重心坐标。您还可以通过乘以重心由原始的点矩阵坐标计算实际的交点我：

我= B * T

这也适用于寻找2D上展开三角形交叉点的坐标。因此，使用2D坐标的2x3矩阵代替T.

最后一次优化。如果总结每个三角形的3个顶点，这将为您提供该三角形的法向量。如果您计算每个法线的矢量的点积，则具有最大点积的三角形将是相交的一个。这一事实是特定于正规多面体，其中原始射线源自原点。这比完成矩阵乘法以确定哪一个命中更快。你仍然需要做1矩阵乘法以找到重心坐标。

您也可以搜索光线三角形交叉点并阅读重心坐标，但这些解决方案将比这个特定问题要求更普遍。

Answer 2

好的，这不是我的领域，但没有其他人回答，所以我会刺伤它。您可以将二十面体表示为12个顶点 - 10个赤道顶点，再加上顶部和底部（对它们本质上没有任何赤道，这只是将它分类为我们的坐标系的一种方式）。

那些顶点反过来可以表示为段 - 一端是原点，另一端是顶点。鉴于此，你可以推导出赤道以上的高度。如果你知道矢量的高度（再次，在赤道上方），你可以确定矢量的二十面体的三个部分中的哪一个相交 - 北部，南部或赤道组。

从你的矢量，你也可以确定方位角。如果您从顶点向量中获得了相应的派生方位角和高度，则这是一个相当简单的计算，即一组两个面（以及四个顶点）。计算给定矢量之间的角度间隔，每个顶点段将告诉你它面对的两个面中的哪一个面，而两个轴承总和中的较小者将是该面。

这就是我卡住的地方......我看不到一个简单的方法来确定与脸部的交点。希望这至少对第一部分有帮助。