包含X百分比多边形的质心居中圆的半径？

Question

我知道如何计算一个多边形及其面积的质心，由此我可以计算以包含多边形100％的质心为中心的圆的半径：它是从质心到最远顶点的距离。

我的问题是：你如何找到一个圆的半径R，其中包含百分之X的圆（其中X％是< 100％）？

这里有一些例子几何形状，我觉得这是很好的测试： L, Square, U and Star Test Geometries

Answer 1

目前的蛮力方法我是：

1）开始一个半径为R的一半大小以包围多边形

2）的100％近似为16边规则十六边形（面积圆所需要的一个=具有相同半径的圆）

3）的97％的使用的一个裁剪方法（例如维勒-阿瑟顿）找到两个多边形

4）的交点计算相交多边形（多个）

5）的区域迭代为半径R的值，直到交叉处通过的面积除以面积该多边形在（1.0262 * X％）的E％范围内，其中E％是可接受的面积误差，1.0262乘数说明了使用圆形和十六边形之间的差异。

Answer 2

首先将多边形分解为一组三角形，其中一个顶点位于质心，另外两个形成边，具有正方向或负方向（取决于边的方向）。三角形的代数区域的总和等于多边形的面积。

然后考虑单个三角形与直径增加的圆的相交区域。首先以系数等于中心角的方式二次生长，直到满足第一个顶点。然后，该区域变得更慢，更慢，直到达到第二个顶点，并达到整个三角形区域。

通过为所有三角形添加这些函数，您将构造全局交集区域曲线，该曲线作为顶点距离的函数分段定义。您将首先确定函数在哪个顶点到达总面积的X％。然后，知道这条曲线的解析表达式，就可以找到确切的半径值。这是否可以通过分析或数字来完成取决于三角形区域尾部的表达。