浮点加法和乘法联合？

Question

我有一个问题，当我增加3浮点值，并将它们与1

cout << ((0.7 + 0.2 + 0.1)==1)<<endl;  //output is 0 
cout << ((0.7 + 0.1 + 0.2)==1)<<endl;  //output is 1 

为什么这些值出来有什么不同？

Answer 1

浮点加法不一定联想。如果你改变你添加的顺序，这可以改变结果。

关于这个问题的标准文件是What Every Computer Scientist Should Know about Floating Point Arithmetic。它给出以下示例：

另一个灰色区域涉及圆括号的解释。由于舍入误差，代数的联合定律不一定适用于浮点数。例如，当x = 1e30，y = -1e30和z = 1时，表达式（x + y）+ z与x +（y + z）具有完全不同的答案（前者为1，后者为0 ）。

Answer 2

什么是可能的，与目前流行的机器和软件，是：

编译器编码的0.7作为0x1.6666666666666p-1（这是十六进制数字1.6666666666666乘以2的次方-1 ），.2为0x1.999999999999ap-3，.1为0x1.999999999999ap-4。这些中的每一个都是可以用浮点数表示的数字，与您写的十进制数字最接近。

观察到这些十六进制浮点常量中的每一个在它的有效位数（“分数”部分，通常不准确地称为尾数）中正好有53位。对于64位二进制浮点数字，有效位的十六进制数字有一个“1”和十三个多位十六进制数字（每个四位，52位总数，53位，包括“1”），这是IEEE-754标准规定的。点数。

让我们添加.7和.2的数字：0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-3。首先，缩放第二个数字的指数以匹配第一个数字。为此，我们将指数乘以4（将“p-3”改为“p-1”），并将有效数乘以1/4，得到0x0.66666666666668p-1。然后添加0x1.6666666666666p-1和0x0.66666666666668p-1，给出0x1.ccccccccccccc8p-1。请注意，该数字在有效数字中的位数超过了53位：“8”是该时间段之后的第14位数字。浮点数不能用这么多位返回结果，所以它必须四舍五入到最接近的可表示数字。在这种情况下，有两个数字相近，即0x1.cccccccccccccp-1和0x1.ccccccccccccdp-1。如果存在平局，则使用有效数的最低位为零的数字。 “c”是偶数，“d”是奇数，因此使用“c”。最后的结果是0x1.cccccccccccccp-1。

接下来，将.1（0x1.999999999999ap-4）的编号添加到该编号。再次，我们缩放以使指数匹配，因此0x1.999999999999ap-4变为0x.33333333333334p-1。然后将其添加到0x1.cccccccccccccp-1，并给出0x1.fffffffffffff4p-1。将其舍入到53位给出0x1.fffffffffffffp-1，这是“.7 + .2 + .1”的最终结果。

现在考虑“.7 + .1 + .2”。对于“.7 + .1”，添加0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-4。回想一下后者的缩放比例为0x3333333333334p-1。那么确切的和是0x1.99999999999994p-1。将其舍入到53位给出0x1.9999999999999p-1。

然后添加.2（0x1.999999999999ap-3）的数字，该数字缩放为0x0.66666666666668p-1。确切的和是0x2.00000000000008p-1。浮点型有效数字总是从1开始缩放（除了特殊情况：在可表示范围底部的零，无穷大和非常小的数字），所以我们将其调整为0x1.00000000000004p0。最后，我们循环到53位，给出0x1.0000000000000p0。因此，由于舍入时发生错误，“.7 + .2 + .1”返回0x1.fffffffffffffp-1（略小于1），并且“.7 + .1 + .2”返回0x1.0000000000000p0（恰好为1）。

Answer 3

浮点乘法在C或C++中不是关联的。

证明：

#include<stdio.h> 
#include<time.h> 
#include<stdlib.h> 
using namespace std; 
int main() { 
    int counter = 0; 
    srand(time(NULL)); 
    while(counter++ < 10){ 
     float a = rand()/100000; 
     float b = rand()/100000; 
     float c = rand()/100000; 

     if (a*(b*c) != (a*b)*c){ 
      printf("Not equal\n"); 
     } 
    } 
    printf("DONE"); 
    return 0; 
} 

在这个程序中，时间约30％，(a*b)*c不等于a*(b*c)。