当x趋于无穷大时，其中f（x）使g（f（x））的阶数最小化

Question

假设f（x）趋于无穷大，因为x趋于无穷大且a，b> 0。发现产生最低为了

为x趋于无穷大的F（X）。 By order我的意思是Big O和Little o表示法。

我只能解决它大致是：

我的解决办法：我们可以说LN（1和+ F（X））约等于LN（F（X））为x趋向无穷大。然后，我有当y = SQRT（C）中，b + LN˚F由于用于任何C> 0，Y + C/y被miminized以最小化的

的顺序（X）} = SQRT （斧头）是水管。等价地，f（x）= e ^（sqrt（ax）-b），g（x）的最低阶是2 sqrt（ax）。

你能帮我获得一个严格的答案吗？

Answer 1

的严格的方式，以尽量减少（我应该说extremize）另一个函数的功能是使用欧拉 - 拉格朗日关系：

这样：

泰勒扩展：

如果我们只考虑上升到 “常量” 条款：

这当然是你所得到的结果。

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接下来，线性方面：

我们不能分析解决这个方程;但是我们可以在功能f(x)中探索扰动的影响（即参数与先前解决方案的小改变）。我们可以明显地忽略任何线性变化f，但我们可以添加一个积极的乘数因子A：

sqrt(ax)和Af显然是正的，所以RHS有一个负号。这意味着ln(A) < 0，因此A < 1，即新的扰动函数给出（稍微）更紧的界限。由于RHS必须非常小（1/f），所以A一定不能小于1。

进一步说，我们可以添加其他扰动B到f指数：

由于ln(A)和RHS都消失较小，B -term上LHS必须为更小签署是一致的。

因此，我们可以得出结论：（1）A是非常接近1，（2）B小于1 多，即你所得到的结果，其实是一个很好的上限。

上面还会导致更高的f更高的功率的更高的边界的可能性。