机器epsilon与最少正数

Question

浮点数表示中机器epsilon和最少正数之间的区别是什么？

如果我尝试显示在若干行中的浮点数。是确切0和第一正之间（数其浮点可表示）和两个连续的数字之间的间隙的间隙，不同？

哪一个比较小？以及这两个值取决于哪个因素（mantisa或exponent）？

Answer 1

机的ε-实际上是在一个浮点数系统表示的相对错误。 使用这个你可以找到绝对的错误。怎么样？ 例如参见IEEE754，您有23位尾数和8位偏置指数。 按小量的定义，你可以通过把所有零指数 找到它，我们得到2^-23 我们现在有哪些1个+小量不等于1

因此，要找到任何绝对误差最小正数数字范围，我们只是将它乘以该数字的指数。

尽管最少数字是数字表示可以表示的最小数字。例如IEEE754表示中的全零。

两者是不同的东西......

Answer 2

7机器epsilon最常见的定义是1.0和下一个可表示数字之间的距离。对于正常/标准化的数字，有效位的最高有效位始终为1，这意味着机器的epsilon只取决于有效位的位数。标准64-bit IEEE double在那里有一个隐含的和52个实际的位;翻转他们中的至少一个给你一个2^-52的小数。由于许多编译器使用IEEE格式，因此这也是DBL_EPSILON（float.h）的结果。

在有效数字的至少显著位的值 - 并且因此两个连续浮子之间的差 - 有时也被称为一个ULP（德纳）。因此机器epsilon是ulp @ 1.0。

最小的可表示归一化double在小数点之前有1位，其余全为零，并且有最小可能（规则）指数。因此它只取决于可能的指数范围。对于2^-1022（DBL_MIN）的标准双精度值。

非归一化（反常规/次正常）值可能变小。它们中最小的一个在有效位的最后位置具有唯一的1位和最小可能的指数（其倾向于用于非正规化和NaN），因此取决于指数范围和尾数位的数量。对于2^-1074的标准双倍。

的wiki article具有良好的图表，所有的血淋淋的细节，以及相关标准的链接。

只要指数保持不变，浮动间的间距就是规则的，当指数增加时，浮动间距就会加倍。

对于所有标准的双非正规数是2^-1074，那就是，你可以得到该类型最严格的间距（绝对值）。从DBL_MIN开始，它是2^-1073，依此类推。

从在间隔2^53是2.0，这意味着你可以使用兼作代用整数只达到2^53包上古怪的平台计数。

Answer 3

对于IEEE 754我们与binary64：

• 标志：1位
• 指数：11位
• 尾数：53位

表示的最小数量取决于指数。对于11位，我们可以去aprox。 10^-323。 使用Python：

0.0 == 1e-323 # False 
0.0 == 1e-324 # True 

机器的ε-依赖于sigficand并且与相对的舍入误差。对于53位，我们有aprox的epsilon。 1E-15。

1.0 == 1.0 + 1e-15 # False 
1.0 == 1.0 + 1e-16 # True