为什么在执行离散傅里叶逆变换时将索引视为连续变量不起作用？

Question

我有一组描述复平面中闭合曲线的点，称之为Z = [z_1, ..., z_N]。我想插入这条曲线，并且由于它是周期性的，所以三角插值似乎是一个自然的选择（尤其是因为它的精度提高了）。通过执行FFT，我们得到的傅里叶系数：

F = fft(Z); 

在这一点上，我们可以得到Z回由式（其中1i是虚数单位，我们用(k-1)*(n-1)因为MATLAB索引从1开始）

    N 
    Z(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. 
       k=1 

我的问题

有什么理由n必须为整数？大概，如果我们将n视为1和N之间的任何实数，我们将只在插值曲线上得到更多点。 这是真的吗？例如，如果我们想双倍积分的数量，我们可以不设置

    N 
    Z_new(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N 
       k=1 

？

新的点当然只是受到一些插值错误的影响，但它们会相当准确，对吗？ 我问这个问题的原因是因为这种方法不适合我。当我试图做到这一点时，我得到了一些乱七八糟的问题，这是毫无意义的。

---

（顺便说一句，我知道我可以使用interpft()命令，但我想只有在曲线的某些区域z_a和z_b之间添加点，例如）

Answer 1

重点是当n是整数时，您有一些主要功能是正交的并且可以作为空间的基础。当，n不是整数时，公式中的指数函数不是正交的。因此，基于这些非正交基础的函数表达式并没有像你期望的那么有意义。

对于正交情况，您可以看到以下示例（从here）。正如你可以检查，你可以找到两个不是整数的n_1和n_2，下面的积分不再是零，它们也不是正交的。