均匀密度的圆形网格

Question

如何生成由均匀面积/顶点均匀分布的瓦片组成的圆形网格？

我需要将拉普拉斯算子应用于我的程序的每一帧。

应用拉普拉斯算子很容易，矩形网格由直角坐标系指定位置，因为对于（i，j）处的图块，我知道其相邻图块的位置是（i-1 ，（i，j-1），（i + 1，j）和（i，j + 1）。

虽然我想使用极坐标，但我不确定是否查询瓦片的邻域会如此简单。

我在OpenGl中工作，可以渲染三角形或点。三角形看起来效率更高（并且具有填充顶点之间区域的良好效果），但似乎更适合笛卡尔坐标。也许我可以渲染点，然后极坐标会正常工作？

另一个问题是瓷砖的密度。我希望在这个网格的表面上传播的波具有相同的分辨率，而不管它们是否在中心。

所以两个主要问题是：生成网格的方式允许容易查询瓦片的邻域，并且保持瓦片的均匀密度分布。

Answer 1

我想你是在问一些不可能的事情。

但是，this是一种技术，用于将规则的正方形2D网格重新映射成具有相对较低变形量的圆形形状。这可能足以解决您的问题。

Answer 2

您可能想看看this paper，它已写入示例球体，但您可能可以将其适应圆形。

Answer 3

一个选项可以使用具有恒定角步长但径向步长不同的极坐标网格，以便所有单元具有相同的面积，即（R + dR）²-R²= Cst，给出dR为R.

您可能希望通过每隔一段时间改变单元的数量（通过加倍）来降低各向异性（某些单元变得非常细长）。这将在网格中引入奇点，即具有五个顶点而不是四个的单元。

查看https://mathematica.stackexchange.com/questions/78806/ndsolve-and-fem-support-for-non-conformal-meshes-of-a-disk-with-kernel-crash的数字