本征对称正定矩阵的高效逆

Question

在本征，如果我们有对称正定矩阵A那么我们就可以通过

A.inverse(); 

或

A.llt().solve(I); 

计算的A逆其中I是与A大小相同的单位矩阵。但是有没有更有效的方法来计算对称正定矩阵的逆？

例如，如果我们写的A的Cholesky分解为A = LL^{T}，然后L^{-T} L^{-1}是因为A L^{-T} L^{-1} = LL^{T} L^{-T} L^{-1} = I（和其中L^{-T}表示的L转置的倒数）的A倒数。因此，我们可以获得A的Cholesky分解，计算其逆，然后获得该逆的叉积来找到A的逆。但我的直觉是，计算这些明确的步骤将比上述使用A.llt().solve(I)慢。

而在任何人问起之前，我的确需要明确的反转 - 它是对Gibbs采样器的一部分进行计算。

Answer 1

使用A.llt().solve(I)，假定A是SPD矩阵，并应用Cholesky分解来解决方程式Ax=I。求解方程的数学过程与你明确的方式完全相同。所以如果你正确地做了每一步，性能应该是一样的。

另一方面，与A.inverse()，你正在做一般矩阵反演，它使用LU分解大矩阵。因此性能应该低于A.llt().solve(I);。