如何指定梯度函数以用于optim（）或其他优化器

Question

我有一个优化问题，Nelder-Mead方法将解决，但我也想用BFGS或Newton-Raphson解决，或采取某些措施一个梯度函数，更快的速度，并希望更精确的估计。我在optim/optimx文档中编写了这样一个渐变函数，但是当我将它与BFGS一起使用时，我的起始值不会移动（optim()），否则函数彻底不能运行（optimx() ，它返回Error: Gradient function might be wrong - check it!）。对不起，有一些代码涉及再现这一点，但这里有：

这是我想获得参数估计的函数（这是为了平滑老年死亡率，其中x是年龄，开始于80岁）：

KannistoMu <- function(pars, x = .5:30.5){ 
     a <- pars["a"] 
     b <- pars["b"] 
     (a * exp(b * x))/(1 + a * exp(b * x)) 
    } 

，这里是一个数似然函数从观察率（定义为死亡，.Dx过度曝光，.Exp）估计它：

KannistoLik1 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){ 
     mu <- KannistoMu(exp(pars), x = .x.) 
     # take negative and minimize it (default optimizer behavior) 
     -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    } 

你在那里贝科看到exp(pars)使用我给log(pars)进行优化，以便将最终的a和b限制为正数。

实施例的数据（1962日本女性，如果任何人是好奇）：

.Dx <- structure(c(10036.12, 9629.12, 8810.11, 8556.1, 7593.1, 6975.08, 
     6045.08, 4980.06, 4246.06, 3334.04, 2416.03, 1676.02, 1327.02, 
     980.02, 709, 432, 350, 217, 134, 56, 24, 21, 10, 8, 3, 1, 2, 
     1, 0, 0, 0), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
     "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
     "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
     "107", "108", "109", "110")) 
    .Exp <- structure(c(85476.0333333333, 74002.0866666667, 63027.5183333333, 
     53756.8983333333, 44270.9, 36749.85, 29024.9333333333, 21811.07, 
     16912.315, 11917.9583333333, 7899.33833333333, 5417.67, 3743.67833333333, 
     2722.435, 1758.95, 1043.985, 705.49, 443.818333333333, 223.828333333333, 
     93.8233333333333, 53.1566666666667, 27.3333333333333, 16.1666666666667, 
     10.5, 4.33333333333333, 3.16666666666667, 3, 2.16666666666667, 
     1.5, 0, 1), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86", 
     "87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97", 
     "98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106", 
     "107", "108", "109", "110")) 

以下作品为Nelder-Mead方法：

NMab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, method = "Nelder-Mead", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    exp(NMab$par) 
    # these are reasonable estimates 
     a   b 
    0.1243144 0.1163926 

这是我想出了梯度函数：

Kannisto.gr <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- exp(pars["a"]) 
     b <- exp(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     -colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE) 
    } 

输出是一个长度为2的向量，相对于p的变化参数a和b。我还通过利用deriv()的输出达到了一个更丑陋的版本，该输出返回相同的答案，并且我不发布（只是为了确认衍生物是正确的）。

如果我把它提供给optim()如下，BFGS为手段，估计不会从初始值移动：

BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr, method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    # estimates do not change from starting values: 
    exp(BFGSab$par) 
     a b 
    0.1 0.1 

当我看到在输出的$counts元素，它说，被称为31次，Kannisto.gr()只有1次。 $convergence是0，所以我想它认为它收敛了（如果我给予不太合理的开始，他们也保持放置）。我减少了宽容等，没有任何变化。当我在optimx()（未显示）尝试同样的呼叫时，我收到上面提到的战斗，并且没有任何对象返回。指定gr = Kannisto.gr与"CG"时，我会得到相同的结果。随着"L-BFGS-B"方法我会得到相同的初始值追溯到估计，但也有报道，这两个函数和梯度被称为21次，并有一条错误消息： "ERROR: BNORMAL_TERMINATION_IN_LNSRCH"

我希望有一些稍微详细一点的梯度函数的写法，将解决这个问题，因为这个后来的警告和optimx行为都直言不讳地暗示该函数根本不对（我认为）。我也尝试了maxLik包中的maxNR()最大化器，并观察到类似的行为（起始值不移动）。任何人都可以给我一个指针？非常感谢

[编辑] @Vincent建议我与输出比较来自一个数值近似：

library(numDeriv) 
    grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), log(c(.1,.1))) 
    [1] -14477.40 -7458.34 
    Kannisto.gr(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp) 
    a  b 
    144774.0 74583.4 

所以不同的符号，和关闭的10倍？我改变渐变功能跟风：

Kannisto.gr2 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- exp(pars["a"]) 
     b <- exp(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     colSums(cbind(a=d.a,b=d.b), na.rm = TRUE)/10 
    } 
    Kannisto.gr2(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp) 
    # same as numerical: 
     a   b 
    -14477.40 -7458.34 

尝试在优化：

BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)), 
     fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr2, method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    # not reasonable results: 
    exp(BFGSab$par) 
     a b 
    Inf Inf 
    # and in fact, when not exp()'d, they look oddly familiar: 
    BFGSab$par 
     a   b 
    -14477.40 -7458.34 

按照文森特的回答，我重新调整了梯度功能，并使用abs()代替exp()保持参数阳性。最近，更好地执行目标和梯度功能：

KannistoLik2 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){ 
     mu <- KannistoMu.c(abs(pars), x = .x.) 
     # take negative and minimize it (default optimizer behavior) 
     -sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE) 
    } 

    # gradient, to be down-scaled in `optim()` call 
    Kannisto.gr3 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){ 
     a <- abs(pars["a"]) 
     b <- abs(pars["b"]) 
     d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx)/
     (a^3 * exp(2 * b * x) + 2 * a^2 * exp(b * x) + a) 
     d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx)/
     (a^2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1) 
     colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE) 
    } 

    # try it out: 
    BFGSab2 <- optim(
     c(a = .1, b = .1), 
     fn = KannistoLik2, 
     gr = function(...) Kannisto.gr3(...) * 1e-7, 
     method = "BFGS", 
     .Dx = .Dx, .Exp = .Exp 
    ) 
    # reasonable: 
    BFGSab2$par 
      a   b 
    0.1243249 0.1163924 

    # better: 
    KannistoLik2(exp(NMab1$par),.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) > KannistoLik2(BFGSab2$par,.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) 
    [1] TRUE 

这是解决速度远远超过我所期待的，我学到比一些技巧了。感谢文森特！

Answer 1

要检查梯度是正确的， 你可以用一个数值近似比较吧：

library(numDeriv); 
grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), c(1,1)); 
Kannisto.gr(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp) 

的标志是错误的：该算法并没有看到任何改善 当它移动在这个方向上，和因此不动。

你可以使用一些计算机代数系统（在这里，千里马） 为你做了计算：

display2d: false; 
f(a,b,x) := a * exp(b*x)/(1 + a * exp(b*x)); 
l(a,b,d,e,x) := - d * log(f(a,b,x)) + e * f(a,b,x); 
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),a)); 
factor(diff(l(exp(a),exp(b),d,e,x),b)); 

我只是复制和结果粘贴到R：

f_gradient <- function(u, .Dx, .Exp, .x.=.5:30.5) { 
    a <- u[1] 
    b <- u[1] 
    x <- .x. 
    d <- .Dx 
    e <- .Exp 
    c(
    sum((e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2), 
    sum(exp(b)*x*(e*exp(exp(b)*x+a)-d*exp(exp(b)*x+a)-d)/(exp(exp(b)*x+a)+1)^2) 
) 
} 

library(numDeriv) 
grad(function(u) KannistoLik1(c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp), c(1,1)) 
f_gradient(c(a=1,b=1), .Dx, .Exp) # Identical 

如果您一味地把优化梯度， 有一个数字不稳定的问题：给出的解决方案是(Inf,Inf) ... 为了防止它，你可以重新调整梯度 （更好的解决方法是使用比指数更少的爆炸转换，以确保参数保持正）。

BFGSab <- optim(
    log(c(a = .1, b = .1)), 
    fn = KannistoLik1, 
    gr = function(...) f_gradient(...) * 1e-3, 
    method = "BFGS", 
    .Dx = .Dx, .Exp = .Exp 
) 
exp(BFGSab$par) # Less precise than Nelder-Mead