多项式展开：分离多项式系数和x

Question

我想自动计算存在变量（x1，x2，...）以及系数（c1，c2，...）的多项式的展开式。我的目标是计算p(1)*(c1*x1+c2*x2+...)^n+ ... + p(n)*(c1*x1+c2*x2+...)^n .

正如您可以注意到的结果表达式可以写成F(x1,x2...)*g(c1,c2,...) [其中F是行矩阵，g是列矩阵]，即在系数和变量之间存在一些乘法解耦。

现在我使用MATLAB符号工具箱，并通过手动检查所产生的符号扩展来构造F和g。这不是非常可行，因为如果n很大，并且c=(c1,c2,...)太大，则有太多的术语，并且不再可能手动。例如对于(c1*x1+c2*x2+c3)和n=2，我想要的是以下。

>> p=[2 5] 

p = 

    2  5 

>> syms c1 c2 c3 
>> syms x1 x2 
>> expression= p(1)*(c1*x1+c2*x2+c3)^2 + p(2)*(c1*x1+c2*x2+c3); 
>> expand(expression) 

ans = 

2*c1^2*x1^2 + 4*c1*c2*x1*x2 + 4*c1*c3*x1 + 5*c1*x1 + 2*c2^2*x2^2 + 4*c2*c3*x2 + 5*c2*x2 + 2*c3^2 + 5*c3 

>> F=[5*x1 5*x2 5 4*x1*x2 4*x1 4*x2 2*x1^2 2*x2^2 2] 

F = 

[ 5*x1, 5*x2, 5, 4*x1*x2, 4*x1, 4*x2, 2*x1^2, 2*x2^2, 2] 

>> g=[c1 c2 c3 c1*c2 c1*c3 c2*c3 c1^2 c2^2 c3^2].' 

g = 

    c1 
    c2 
    c3 
c1*c2 
c1*c3 
c2*c3 
    c1^2 
    c2^2 
    c3^2 

>> expand(F*g) 

ans = 

2*c1^2*x1^2 + 4*c1*c2*x1*x2 + 4*c1*c3*x1 + 5*c1*x1 + 2*c2^2*x2^2 + 4*c2*c3*x2 + 5*c2*x2 + 2*c3^2 + 5*c3 

我发现以下question，它看起来像有可能是一个办法做到这一点使用自动conv等，如果人能拿出一个自动化的解决方案（或对这种自动化至少一些想法）为在上述情况下x=(x1,x2) and c=(c1,c2,c3) and n=2的情况;我想我可以将它推广到更高维的情况。

注意：F或g中的术语排序并不重要，因为它们是以某种结构化方式排序的。

Answer 1

来自不同术语的系数不重叠。第一项，p(1)*(c'*x)^1，仅在xi和ci等级中具有1级的条款，依此类推。所以它成为一次计算一个项的系数的问题。

那个，也有一个“简单”的表达：

p(k)*(c'*x)^k = sum(i1,..,im>=0 with sum(i_)=k) 
    M(k;i1,..,im)*x1^i1*...*xm^im * c1^i1*...*cm^im 

其中求和是这样的，所有i的总和等于k，并M是multinomial coefficient。

对于m=3,n=2，i将按照您的示例中的顺序排列：110,101,011,200,020,002。 M（2; 110）= 2因此第一项是'p（2）* M（2; 110）* x1 * x2 = 4 * x1 * x2'。

您的F和G的条件是：

F(...) = p(k)*M(k;i1,..,im)*x1^i1*...*xm^im 
g(...) = c1^i1*...*cm^im