最佳拟合方到四边形

Question

我有由四个点，A，B，C和d，其中仅其位置是已知的形状。目标是将这些点变换为具有相对于彼此的特定角度和偏移量。

例如：A(-1,-1) B(2,-1) C(1,1) D(-2,1)，应将其转换为AB，BC，CD和AD之间的偏移量为2的完美正方形（所有角度为90°）。结果应为逆时针轻微旋转的正方形。

什么是最有效的方法来做到这一点？ 我用这一个简单的块模拟程序。

Answer 1

正如马克暗示，我们可以使用约束优化找到侧2平方米，为原来的角落的距离的平方最小。

我们需要尽量减少f = (a-A)^2 + (b-B)^2 + (c-C)^2 + (d-D)^2（其中方实际上是向量参数的点产品，本身）受到一些限制。

继Lagrange multipliers的方法，我选择了追随距离限制：

g1 = (a-b)^2 - 4 
g2 = (c-b)^2 - 4 
g3 = (d-c)^2 - 4 

及以下角度约束：

g4 = (b-a).(c-b) 
g5 = (c-b).(d-c) 

快速餐巾纸草图应该说服你，这些限制就足够了。

然后，我们希望尽量减少˚F受G的全部为零。

拉格朗日函数是：

L = F +萨姆（i = 1至5，李GI）

其中li s为拉格朗日乘子。

渐变是非线性的，所以我们必须采取粗麻布并使用multivariate Newton's method迭代到解决方案。

这是我得到了解决（红色）给出的（黑色）的数据：

这花了5次迭代，该步骤的L2标准之后是6.5106e-9。